Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

ЛЕКЦИЯ №27

СЛОЖЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ

(колебания в системах с несколькими степенями свободы)

       Рассмотренные в предыдущих параграфахзакономерности колебательных движений являются простейшими в том смысле, что они характеризуют свойства изолированного колебания. Такие колебания происходят в системах с одной степенью свободы (рассматривается движение под действием сил, направленных вдоль единственной оси, например, Х). Переход от одномерного осциллятора к системе с несколькими степенями свободы приводит к качественному изменению характера движений (в философии это называется переходом количественных изменений в качественные). В системе с несколькими степенями свободы возможны одновременные колебания с разными частотами. Их совокупность образует частотный спектр системы, который тем богаче, чем больше частиц и, следовательно, степеней свободы осциллирующей системы.

 

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

Рассмотрим систему, обладающую двумя степенями свободы, т. е. такую систему, для задания положения которой необходимы две величины. Примером может служить тяжелый шарик, подвешенный на легкой длинной пружине, конец которой закреплен на шарнире так, что шарик вместе с пружиной может совершать маятникообразные колебания в одной плоскости. Положение шарика можно определить, задав угол j, образуемый осью пружины с вертикалью, и расстояние l от оси шарнира до центра шарика. Шарик может участвовать в двух колебаниях: во-первых, в колебаниях, при которых изменяется угол j, во-вторых, в колебаниях, при которых изменяется расстояние l. Частота первого колебания определяется длиной пружины l и ускорением силы тяжести g, частота второго - коэффициентом упругости пружины k и массой шарика т.

 

Рис.27.1.

 

Если возбудить одновременно оба колебания, то шарик, вообще говоря, будет двигаться по некоторой сложной траектории (рис. 27.1), форма которой зависит от соотношения частот и начальных фаз обоих колебаний.

Перейдем к сложению двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаний одной и той же частоты w, совершающихся вдоль координатных осей х и у. Выберем начало отсчета времени так, чтобы начальная фаза первого колебания была равна нулю. Тогда уравнения колебаний запишутся следующим образом:

x = a cos w t,                                                                                              (27.1)

y = b cos (w t + a),

 где a - разность фаз обоих колебаний.

Выражения (27.1) представляют собой заданное в параметрической форме уравнение траектории, по которой движется тело, участвующее в обоих колебаниях. Чтобы получить уравнение траектории в обычном виде, нужно исключить из уравнений (27.1) параметр t. Из первого уравнения следует, что

                                                                                                                         (27.2)

Следовательно,

                                                                                     (27.3)

Теперь развернем косинус во втором из уравнений (27.1) по формуле для косинуса суммы , подставляя при этом вместо cos w t и sin w t их значения (27.2) и (27.3). В результате получим:

Последнее уравнение после несложных преобразований можно привести к виду

                                                                           (27.4)

Как известно из аналитической геометрии, уравнение (27.4) есть уравнение эллипса, оси которого ориентированы относительно координатных осей х и у произволь- но. Ориентация эллипса и величина его полуосей зависят довольно сложным образом от амплитуд а и b и разности фаз a.

Исследуем форму траектории в некоторых частных случаях.

1. Разность фаз a равна нулю. В этом случае уравнение (27.4) принимает вид

откуда получается уравнение прямой

                                                                                                      (27.5)

Колеблющаяся точка перемещается по этой прямой, причем расстояние ее от начала координат равно . Подставляя сюда выражения (27.1) для х и у и учитывая, что a = 0, получим закон, по которому r изменяется со временем:

                                                                                 (27.6)

Из (27.6) следует, что результирующее движение является гармоническим колебанием вдоль прямой (27.5) с частотой w и амплитудой, равной  (рис. 27.2).

                        y                                                                    y                   

                                             b                               b

         b                   a            x                                   a             b       x

                    a                                                                                   a

                   Рис.27.2.                                                      Рис.27.3.

2. Разность фаз  равна ± p. Уравнение (27.4)имеет вид

откуда получается, что результирующее движение представляет собой гармоническое колебание вдоль прямой (рис. 27.3)

      

3. При  уравнение (27.4) переходит в

                                                                                        (27.7)

т. е. в уравнение эллипса, приведенного к координатным осям, причем полуоси эллипса равны соответствующим амплитудам колебаний. При равенстве амплитуд а и b эллипс вырождается в окружность.

Случаи  отличаются направлением движения по эллипсу или по окружности.Если , уравнения (27.1) можно записать следующим образом:

x = a cos w t,                                                                                              (27.8)

y = - b cos (w t + a),

В момент t = 0 тело находится в точке 1 (рис. 27.4). В последующие моменты времени координата х уменьшается, а координата y становится отрицательной. Следовательно, движение совершается по часовой стрелке.

              y                                                  

               b          a = - p/ 2                     Рис.27.4.

                       a     1          x

                                  a = + p/ 2

 

При уравнения колебаний имеют вид

x = a cos w t,                                                                                              (27.9)

y = b sin w t.

Отсюда можно заключить, что движение происходит против часовой стрелки.

Из сказанного следует, что равномерное движение до окружности радиуса R с угловой скоростью w может быть представлено как сумма двух взаимно перпендикулярных колебаний:

x = R×cos w t,                                                                                          (27.10)

y = ±R×sin w t

(знак «плюс» в выражении для у соответствует движению против часовой стрелки, а знак «минус» - движению по часовой стрелке).

Фигуры Лиссажу

Если частоты взаимно перпендикулярных колебаний не одинаковы, то траектория результирующего движения имеет вид довольно сложных кривых, называемых фигурами Лиссажу.

                  Рис.27.5                                        Рис.27.6

На рис.27.5 показана одна из простейших траекторий, получающаяся при отношении частот 1: 2 и разности фаз p /2. Уравнения колебаний имеют вид

x = a cos w t,                                                                                              (27.11)

y = b cos (2 w t + p /2),

За то время, пока вдоль оси х точка успевает переместиться из одного крайнего положения в другое, вдоль оси у, выйдя из нулевого положения, она успевает достигнуть одного крайнего положения, затем другого и вернуться в нулевое положение.

При отношении частот 1:2 и разности фаз, равной нулю, траектория вырождается в незамкнутую кривую (рис.27.6), по которой точка движется туда и обратно.

Чем ближе к единице рациональная дробь, выражающая отношение частот колебаний, тем сложнее оказывается фигура Лиссажу.