Колебаний в колебательном контуре

Цель работы: изучить работу колебательного контура и определить его основные характеристики.

Приборы и принадлежности: осциллограф С1-118, генератор импульсов, набор конденсаторов, катушка индуктивности, переменный резистор.

Изучите теоретический материал по одному из учебных пособий: [1, § 89–90; 2, гл. XXII §22; 3, гл. XI § 51; 4, ч. 2, гл. V §40–41].

Колебательным контуром называется электрическая цепь, состоящая из последовательно соединенных конденсатора емкостью C, катушки индуктивностью L и электрического сопротивления R.

Здесь и далее будем рассматривать так называемый закрытый колебательный контур, в котором электромагнитное поле сосредоточено (локализовано) в той области пространства, где находится контур. Поэтому такой контур не излучает электромагнитные волны в пространство. Будем полагать, что вся индуктивность контура полностью сосредоточена в катушке, а емкость - в конденсаторе. Такой контур называется контуром с сосредоточенными параметрами.

Чтобы возбудить электрические колебания в таком контуре, необходимо создать в нем электрический ток. Реально это можно сделать двумя способами:

сообщить заряд конденсатору;

возбудить индукционный ток в катушке, воздействуя на нее магнитным полем (явление электромагнитной индукции).

При протекании электрического тока в колебательном контуре происходит превращение энергии электрического поля  в энергию магнитного поля  и наоборот. В реальных контурах часть энергии всегда выделяется в виде тепла в результате нагревания проводников (закон Джоуля-Ленца). Поэтому электрические колебания в реальном колебательном контуре не могут продолжаться бесконечно долго с одинаковой интенсивностью.

Для качественного изучения процессов, происходящих в колебательном контуре, рассматривают его упрощенную модель, называемую идеальным колебательным контуром (рис. 9.1). Предполагается, что в идеальном контуре отсутствует активное сопротивление проводников (R =0), поэтому полученная контуром энергия не рассеивается в окружающее пространство в виде теплоты.

Электрические колебания в таком колебательном контуре, по аналогии с механическими колебаниями, описываются дифференциальным уравнением второго порядка.

Если такому контуру сообщить некоторое количество энергии, например, зарядив конденсатор, то в нем возникнут гармонические электрические колебания:

,

 

где q – заряд на обкладках конденсатора в момент времени t;

q ₀ – амплитудное (максимальное) значение заряда;

w ₀ – циклическая частота;

j – начальная фаза.

 

Рис. 9.1.

 

Ввиду отсутствия потерь в таком контуре (R =0) колебания будут существовать бесконечно долго без какого-либо воздействия извне. Поэтому они называются свободными или собственными.

Запомните выражения для частоты и периода собственных колебаний:

, .

Разбирая процессы, имеющие место в реальном контуре, катушка индуктивности которого имеет сопротивление R (рис. 9.2), следует твердо усвоить, что однажды подведенная к нему энергия путем зарядки конденсатора С при каждом колебании будет постепенно расходоваться согласно закону Джоуля–Ленца на нагрев провода катушки индуктивности. Эти потери энергии приведут к затуханию колебаний, амплитуда которых будет убывать с течением времени по определенному закону.

 

Рис.9.2.

 

Для выяснения характера изменения во времени колебаний величины заряда конденсатора составим уравнение для контура, согласно второму правилу Кирхгофа:

 

_L,

где  – разность потенциалов на обкладках конденсатора;

   – сила тока в контуре;

   _L  – ЭДС  самоиндукции в катушке  индук-

                                                тивности.

Тогда

, или . (9.1)

Обозначим , . Выражение (9.1) примет следующий вид:

.

 

Проанализируйте решение полученного однородного дифференциального уравнения. Им является функция

,                         (9.2)

 

изображенная на рис. 9.3.

Рис. 9.3.

 

Амплитуда колебаний величины заряда на обкладках конденсатора  непрерывно уменьшается (затухает) по экспоненциальному закону. Интенсивность затухания амплитуды определяется величиной , называемой коэффициентом затухания.

Следует также обратить внимание на влияние сопротивления R в контуре не только на амплитуду заряда, но и на частоту или период колебания:

.            (9.3)

 

Необходимо иметь в виду, что в большинстве случаев влияние затухания незначительно, что позволяет считать . При этих условиях формула (9.3) сводится к формуле

 

,                                (9.4)

 

называемой формулой Томсона.

Если затухание столь велико, что , колебаний не будет (период Т становится мнимым). Запомните, что такой процесс носит название апериодического.

Следует также знать связь между коэффициентом затухания и временем затухания , в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в е раз:

.

 

В лабораторной работе требуется определить величину, характеризующую быстроту затухания и называемую логарифмическим декрементом затухания , который равен натуральному логарифму двух последовательных амплитуд, разделенных промежутком времени, равным периоду колебаний:

.

 

Величина, обратная логарифмическому декременту затухания, показывает, какое количество колебаний N сделает система за время :

 

.

 

Важно запомнить, что величина

,                                (9.5)

 

называемая добротностью колебательного контура, с физической точки зрения, при слабом затухании определяет отношение энергии W, запасенной в контуре, к убыли этой энергии за один период колебания:

.