Материальные уравнения

 

Материальные соотношения – соотношения связи – необходимы для описания поведения среды (вещества) по действием падающего электромагнитного поля. Реально эти соотношения крайне сложны, но для тел, находящихся в покое или очень слабого движения друг относительно друга и состоящих из изотропных веществ, т.е. с независящими свойствами от направления, справедливо

, , ,

где s – удельная проводимость среды,  – изоляторы или диэлектрики,  – проводники,

m – магнитная проницаемость среды,  – большинство веществ, особенно газы,  – парамагнетики (),  – диамагнетики (),  – магнетики, сильные магнетики – ферромагнетики (),

e – диэлектрическая постоянная среды.

В случае анизотропной среды, даже в линейном приближении (приближение 1-го порядка), все соотношения существенно усложняются за счет необходимости учета всех проекций векторов при линейной зависимости двух неколлинеарных векторов. В этом случае связь, например, проекций вектора электрического смещения и проекций напряженности электрического поля будет выглядеть следующим образом

, или , или .

Квадратная матрица 3´3 представляет собой тензор 2-го ранга диэлектрической проницаемости среды. Т.е. для описания свойств анизотропной среды в линейном приближении необходима информация уже о 9 компонентах диэлектрической проницаемости среды.

Замечание о дифференциальных операторах

Векторного и скалярного полей.

 

Дано:  – скалярное поле, – векторное поле.

Градиент – вектор

Дивергенция – скаляр

Ротор (вихрь) – вектор

Важнейшие соотношения:

; ;

; ;

; ; .

Волновое уравнение.

 

Обобщенное волновое уравнение достаточно легко получить из уравнений Максвелла для области поля, где отсутствуют свободные электрические заряды и нет токов, т.е.

 и .

При этом среда распространения электромагнитной волны представляется пространственно неоднородной, но стационарной

 и .

Делая несложные преобразования несложно получить обобщенное волновое уравнение, например, для электрического компонента электромагнитной волны

.

Если среда распространения однородна, то

 и .

Даже если среда распространения имеет незначительные изменения в пространственном распределении, то можно принять

 и .

Тогда волновое уравнение существенно упрощается

 или .

В случае среды, отличной от вакуума, т.е. когда , волновое уравнение трансформируется

,

где  – фазовая скорость распространения волны в среде с показателем преломления n. Следовательно, справедливо известное соотношение Максвелла .

С учетом векторности волнового уравнения предполагается получение решение для каждого компонента электрического вектора в выбранном пространственном базисе. Другими словами четырехмерность самого уравнения и необходимость разрешения системы трех дифференциальных уравнений в частных производных делает решение этой системы крайне затруднительным.

Положение существенно усугубляется малостью характерного пространственного масштаба процесса, определяемого длиной волны излучения. В процессе численного решения системы волновых уравнения шаг пространственной дискретизации для аппроксимации частных производных должен иметь размер порядка l.

Пусть l будет иметь порядок 10^{-6 м. Характерный размер решаемой задачи (области распространения волны) примем равным 1 м. Тогда число узлов сеточной аппроксимации составит условно 106} по одной координате, т.е. весь объем будет содержать 10¹⁸ узлов (миллиард гигабитов!), что совершенно неподъемно для всех современных компьютеров.

В связи с этим весьма актуальным остается поиск любых обоснованных приемов, направленных на снижение мерности задачи – сокращения числа независимых переменных, сокращение числа уравнений в системе уравнений, радикальном, но обоснованном преобразовании соотношений или поиск удобоваримых аналитических решений.