Уравнение неразрывности. Уравнение Бернулли

 

Рассмотрим стационарное течение несжимаемой жидкости. Возьмём трубку тока, ограниченную перпендикулярными к направлению скорости сечениями S ₁ и S ₂ (рис.5.1), достаточно малыми, чтобы в пределах сечения скорость частиц жидкости можно было считать постоянной: в сечении S ₁ скорость равна , в сечении S ₂ – . Поскольку жидкость несжимаема (ρ=const), то объём жидкости, поступающий через первое сечение, равен объёму жидкости, вытекающей через второе сечение за тот же промежуток времени :

Рис.5.1

,                                                        (5.4)

или

,                                                        (5.5)

где  и   – путь, пройденный частицами жидкости в соответствующем сечении за время . Тогда получим:

,

или

.                                           (5.6)

Соотношение (5.6) – это уравнение неразрывности струи.

Объёмным расходом жидкости называется объём, протекающий через сечение за единицу времени:

.                                    (5.7)

Размерность

.

Если сечения трубки тока нельзя считать малыми, то для вычисления объёмного расхода нужно интегрировать по сечению трубки тока:

.

Уравнение неразрывности, по существу, означает равенство объёмного расхода в любом сечении трубки тока, если течение стационарно.

Массовым расходом называется масса жидкости, протекающая через сечение за единицу времени:

,                                    (5.8)

.

3. Уравнение Бернулли.

В реальных жидкостях между отдельными слоями потока есть внутренне трение (вязкость). Но в ряде случаев влиянием вязкости жидкости можно пренебречь (вязкость воды и спирта, например, в обычных условиях очень невелика), а вязкость газа вообще очень незначительна.

Идеальной жидкостью называется жидкость без внутреннего трения (без вязкости).

Рассмотрим стационарно текущую идеальную жидкость (рис.5.2). Сечения опять будем считать достаточно малыми, так что скорости частиц жидкости в пределах сечения одинаковы, а кроме того, размеры сечения много меньше его высоты h над выбранным уровнем. За время dt жидкость, находящаяся между сечениями, проходящими через точки А и В, заполнит участок между точками A` и B`.

Поскольку течение стационарно, состояние жидкости между сечениями, проходящими через точки A` и B, не изменяется, так что этот участок можно не рассматривать и считать, что масса жидкости  () за время dt переместилась из положения АА` с высоты h ₁ в положение ВВ` на высоту h ₂. Внутреннего трения нет, поэтому работа внешних сил давления идёт только на увеличение механической энергии массы жидкости dm:

.                                         (5.9)

Рис.5.2

Работа силы  давления в сечении S ₁ при перемещении на dl ₁:

,                             (5.10)

так как сила давления , а объём протекшей жидкости . Аналогично работа в сечении S ₂ при перемещении на dl ₂:

.                                            (5.11)

Знак «минус» указывает на то, что в этом сечении направления силы давления и перемещения противоположны. Работа сил давления, действующих на боковую поверхность цилиндра, равна нулю, так как эти силы перпендикулярны поверхности, а следовательно, и перемещению частиц жидкости.

Далее, начальная механическая энергия массы dm, движущейся со скоростью v₁ и находящейся на высоте h ₁, равна

.                                     (5.12)

Механическая энергия через dt на высоте h ₂ аналогично:

,                                     (5.13)

тогда из (5.9):(5.13):

 

Плотность равна , поэтому

,

или:

.                         (5.14)

Это – уравнение Бернулли.

Его можно записать так:

,                                      (5.14а)

то есть сумма статического давления p, динамического  и гидростатического  в любом сечении трубки тока остаётся постоянной. Отсюда, в частности, следует, что в горизонтальной трубе в местах сужения, где скорость потока больше, статическое давление падает.