Распределение Максвелла

Для выяснения способа, которым можно количественно описать распределение молекул по значениям скорости, воспользуемся следующим приемом. Возьмем в воображаемом пространстве, которое мы будем называть -пространством (пространством скоростей), прямоугольные координатные оси, по которым станем откладывать значения отдельных молекул (имеются в виду компоненты скорости по осям х, у и z, взятым в обычном Пространстве). Тогда скорости каждой молекулы будет соответствовать точка в этом пространстве. Из-за столкновений положения точек будут непрерывно меняться, но их плотность в каждом месте будет оставаться неизменной (напомним, что рассматривается равновесное состояние газа).

Вследствие равноправности всех направлений движения расположение точек относительно начала координат будет сферически симметричным. Следовательно, плотность точек в пространстве может зависеть только от модуля скорости v (или от ). Обозначим эту плотность через — полное число молекул в данной массе газа). Тогда количество молекул, компоненты скоростей которых лежат в пределах от до можно представить в виде

(98.1)

(произведение дает элемент объема в пространстве).

Точки, изображающие скорости, величина которых заключена в пределах от v до попадают в область, лежащую между сферами радиусов v и (рис. 98.1). Объем области равен Следовательно, число точек, находящихся в этой области, определяется выражением

Это выражение дает число молекул, величина скоростей которых лежит в интервале от v до Разделив его на N, получим вероятность того, что скорость молекулы окажется в пределах от v до

Рис. 98.1.

Из сравнения этого выражения с (93.6) заключаем, что

играет роль функции распределения молекул газа по скоростям.

Вид функции (98.4) был установлен теоретически Максвеллом в 1860 г. В изложенном ниже выводе закона распределения молекул газа по скоростям мы примерно следуем Максвеллу.

Согласно формуле (93.6) вероятность того, что компонента скорости некоторой молекулы имеет значение в пределах от до может быть представлена в виде

где — функция распределения. Аналогичные вероятности для двух других компонент определяются выражениями

В силу равноправности всех направлений движения аналитический вид функций должен быть одинаков, эти функции отличаются лишь обозначением аргумента.

Максвелл предположил, что вероятность различных значений одной из компонент, например не зависит от того, какова величина остальных двух компонент (в данном случае ). Это означает, что события, заключающиеся в том, что некоторой молекулы находится в пределах от до той же молекулы — в пределах от до и, наконец, той же молекулы — в пределах от до являются статистически независимыми. Поэтому вероятность того, что компоненты скорости некоторой молекулы имеют значения, лежащие в пределах от до равна произведению вероятностей (98.5); (98.6) и (98.7):