Задачи для самостоятельного решения

5 6 7 8 9 10 11

Задача 1.

Два стержня соединены в шарнире В. Определить момент в заделке А, если силы F₁=60Н, F₂=50Н

(рис. 38). Рис. 38

Задача 2.

Определить вертикальную составляющую реакции в шарнире В, если сила F=850Н, а СЕ=ДC=ВЕ (рис. 39). Рис. 39

Задача 3.

Стержень АВ концом В свободно опирается на вертикальный стержень CД, один конец которого заделан в основание. В середине АВ приложена вертикальная сила F=2кН. Найти давление стержня АВ на стержень CД (рис. 40). Рис. 40

Задача 4.

Пренебрегая весом конструкции, определить реакцию опоры А, если сила F=400Н, угол α=45° (рис. 41).

Рис. 41

Задача 5.

Определить длину ВС, для того чтобы вертикальная составляющая реакции шарнира Д равнялась 6 кН, если интенсивность распределенной нагрузки q=6 кН/м и размеры ДE=AE=CE=BC (рис. 42).

Рис. 42

Задача 6.

На систему балок действуют равномерно распределенная нагрузка интенсивности q, пара сил с моментом m и сосредоточенная сила . Определить опорные реакции, считая балки однородными телами, центры тяжести которых находятся в точках О₁ и О₂.

Схемы балок показаны на рис. 43, а необходимые для решения данные приведены в табл. № 6.

Таблица № 6

Номер задачи	AB	CД	AC	BC	α	β	q	m	F	P	P
Номер задачи	м				град.		кН/м	кН м	кН
1	6	4	2		30		2	15	10	5	4
2			6		60	60	1,5	10	20	15	15
3	3	4	2		45		1	4	5	4	6
4	4	1,5		5	60	45	3	20	10	30	20

Рис. 43

2.3.Вопросы для самопроверки.

1. Какие силы, действующие на систему тел, называют внешними, а какие внутренними?

2. Как осуществляется соединение тел в конструкцию?

3. Каковы свойства внутренних сил?

4. Какие методы (или способы) применяются при решении задач, когда рассматривается система тел, соединенных между собой?

5. Сколько уравнений равновесия составляется при рассмотрении равновесия системы тел, соединенных между собой?

6. Как осуществляется проверка полученного решения?

Произвольная пространственная система сил.

Равновесие тела под действием пространственной

Системы сил.

Пространственной называется такая система сил, линии действия которых, расположены произвольным образом в пространстве.

Для равновесия пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы проекции всех сил на каждую из трех выбранных координатных осей и суммы моментов этих сил относительно тех же осей были равны нулю:

1. 2. ; 3. .

4. ; 5. ; 6.

Момент силы относительно оси Оz равен алгебраическому моменту проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную оси z, взятому относительно точки пересечения оси с этой плоскостью.

Рис. 44

Момент силы будет иметь знак плюс, когда со стороны положительного направления оси, видим, что под действием этой проекции тело стремится вращаться против часовой стрелки и отрицательным, если по часовой стрелке.

Момент силы относительно оси равен нулю:

1) = 0, то есть сила параллельна оси;

2) h = 0, то есть сила пересекает ось.

Объединяя эти два случая, можно сказать, что момент силы относительно оси равен нулю, если сила и ось лежат в одной плоскости.

Итак, чтобы вычислить момент силы относительно оси z нужно:

1) провести плоскость О x y перпендикулярную оси z в любом месте;

2) спроецировать силу на эту плоскость и найти величину проекции этой силы ;

3) опустить из точки пересечения оси с плоскостью перпендикуляр на линию действия и найти его длину h;

4) вычислить произведение и присвоить знак.

Задача 1. К кубу с ребром a =1,5м приложены силы F₁= 20Н, F₂ =50Н, F₃=40Н. Вычислить моменты сил F₁, F₂, F₃ относительно осей координат

x, y,z (рис.45).

Решение. 1. Выберем начало координат в точке О. Линия действия силы , проходит через начало координат, пересекая все три оси. Поэтому моменты этой силы относительно всех осей равны нулю.

Рис. 45

2. Для определения моментов сил и относительно оси x нужно (рис.46):

-силы спроецировать на плоскость, перпендикулярную оси x, то есть на плоскость Oyz;

- вычислить величины этих проекций , ;

-определить плечи сил h₂ и h₃ этих сил относительно точки O;

-вычислить моменты этих сил относительно точки O.

= =

42,4 Нм.

Рис. 46

3.Для определения моментов сил и относительно оси y нужно((рис.47):

-силы спроецировать на плоскость Oxz, перпендикулярную оси y,;

-вычислить моменты этих проекций относительно точки O.

= 42,4

Рис. 47

4. Для определения моментов сил и относительно оси z нужно (рис.48):

-силы спроецировать на плоскость Oxy, перпендикулярную оси z;

-вычислить моменты этих проекций относительно точки O.

= 42,4 .

Рис. 48

Для определения моментов сил относительно координатных осей в некоторых случаях удобно применять теорему Вариньона о моменте равнодействующей: если данная система сил имеет равнодействующую, то момент равнодействующей относительно любой оси равен алгебраической сумме моментов сил системы относительно той же оси.

Задача 2. Определить момент силы =10 кН относительно координатных осей x, y, z, применяя теорему Вариньона, если ОА= 2 м, ОВ =1,5м, h = 0, 5м, (рис.49).

Решение. Разложим силу на составляющие и , параллельные осям x, и z, где по модулю = cos , sin

По теореме Вариньона момент силы равен алгебраической сумме моментов сил и :

= + .

Так как сила параллельна оси x, то ее момент относительно этой оси будет равен нулю, т.е

, и момент силы относительно оси Ox равен моменту силы относительно этой же оси = = sin ОВ =7,5кН.

Рис. 49

Аналогичным образом определим моменты силы относительно координатных осей y, z:

= + = h – ОА=

cos h - sin ОА = 5,67кН,

= + = cos ОВ =12,99 кН.

Задача 3. К коленчатому валу ОА в точке В под углом к горизонту приложена сила F=10 Н и пара сил, момент которой равен М. Определить реакции цилиндрических шарниров О и А и модуль момента, если ОС=1м, СD=1,5м, АD=1м, ВС=0,9м, а сила Fлежит в плоскости параллельной плоскости Оxy (рис.50).

Решение. 1.На схеме закрепления коленчатого вала ОА покажем заданную силу и пару сил, момент которой равен М.

2.Начало координат выберем в точке О, ось y направим по оси вала, оси x и z как показано (рис. 50).

3. Освободим коленчатый вал ОА от связей, а их действие заменяем реакциями.

Рис 50.

4.Реакция цилиндрического подшипника О приложена в центре подшипника, лежит в плоскости перпендикулярной оси подшипника и изображается двумя силами _o и _o.

5. Аналогичным образом изображаем реакции подшипника А силами и _A.

6. Определим проекции сил на координатные оси и моменты сил относительно тех же осей (табл.6).

Таблица 6

		М	_o	_o
F_x	Fcos60	-	Х_о	0	X_А	0
F_y	0	-	0	0	0	0
F_z	Fcos30	-	0	Zо	0
m_x	Fcos30 OC	0	0	0	0
m_y	Fcos30 BC	М	0	0	0	0
m_z	Fcos60 OC	0		0	X_А	0

7. Запишем уравнения равновесия.

, Fcos60 + =0;

2. , ;

Fcos30 + =0;

Fcos30 =0;

, Fcos30 =0;

Fcos60 =0.

Все силы, действующие на вал, лежат в плоскостях перпендикулярных оси у. Тогда проекция каждой силы на эту ось равна нулю и уравнение равновесия выполняется тождественно.

Пара сил, момент которой равен М, лежит в плоскости перпендикулярной оси у и может повернуть вал только вокруг этой оси. Поэтому момент этой пары входит только в уравнение моментов со своим знаком “минус”.

Линии действия реакции связей _o, _o, _Aпроходят через ось у, поэтому моменты этих сил относительно этой оси равны нулю. Тогда уравнение (5) содержит только момент силы и момент пары сил М.

8. Из уравнений 1-6 вычислим реакции связей X _o, Z _o, X _A, Z _A и момент пары сил М.

Из уравнения (6) X _A: 10 0,5 =0, X_A = 1, 43 Н.

Из уравнения (1) X _o: 10 0,5 + =0, X _o= 3,53 Н.

Из уравнения (4) Z _A: 10 0,866 =0 Z _A = 2, 47 Н.

Из уравнения (3) Z _o: 10 + 2, 47 =0, Z _o = 6,19 Н.

Из уравнения (5) вычислим момент пары сил М:

10 =0 М=7,79 Нм.

9. Выполним проверку расчетов.

Рис. 51

Для этого начало координат переместим в точку С и составим уравнение моментов относительно новой оси x₁ (рис.51).

OC подставим в это уравнение вычисленные значения реакций Z _o = 6,19 Н и Z _A = 2, 47 Н.

,19 , ,19+6,17=0, погрешность расчетов составляет 0,02, что вполне допустимо.

Для проверки правильности расчета реакций X_o и X_A составим уравнение моментов относительно новой оси z₁.

, погрешность расчетов составляет 0,04, что является также вполне допустимым результатом.

Ответ: X _o= 3,53 Н, X _A = 1, 43 Н, Z _o = 6,19 Н, Z _A = 2, 47 Н, М=7,79 Нм.

Задача 4. Однородная квадратная пластина ABCД (рис.52) весом удерживается в горизонтальном положении при помощи сферического шарнира А, цилиндрического шарнира В и нити СЕ, образующей угол с вертикалью. Определить реакции шарниров и натяжение нити. Дано: АВ = АД = а, = 60^о, G = 2 кН.

Рис. 52

Решение. 1. На схеме закрепления пластины покажем заданную силу , ее вес.

2. Начало системы координат поместим в точку А и оси координат изобразим как показано на схеме закрепления пластины (рис.52).

3. Освободим пластину от связей, а их действие заменим реакциями связей.

4. Пластина удерживается в равновесии нитью СЕ, реакция нити направлена вдоль нити от пластины к точке закрепления Е.

5. Опора А представляет собой сферический шарнир. Реакция сферического шарнира приложена в центре шарнира А и изображается тремя силами .

6. Опора В представляет собой цилиндрический шарнир. Реакция цилиндрического шарнира В, лежит в плоскости перпендикулярной его оси и изображается двумя силами .

7. На пластину действует произвольная пространственная система сил. Определим проекции сил на координатные оси и моменты сил относительно тех же осей (табл.7).

Таблица 7


F_x	0		Х _A	0	0	X _B	0
F_y	0		0		0	0	0
F_z	G		0	0	Z A	0
m_x			0	0	0	0	Z _B
m_y			0	0	0	0	0
m_z		0		0	0	X _B	0

Составим уравнения равновесия сил, действующих на пластину:

1. + Х_A + X_B =0;

2. + = 0;

3. + ZA + = 0;

4. Z_B =0;

5. = 0;

6. X_B = 0.

8. Из уравнений 1-6 вычислим реакции связей.

Из уравнения (5) вычислим реакцию нити Т:

кН.

Из уравнения (6) X _B= 0.

Из уравнения (4) Z_B = 0 кН.

Из уравнения (2) =1,41 кН.

Из уравнения (1) Х _A=1,41 кН.

Из уравнения (3) Z _A = 1 кН.

9. Для проверки вычислений поместим начало координат в С и составим уравнения моментов относительно новых осей x₁, y₁, z₁.

Рис. 53

1. .

2. ,

Вычисленные значения реакций связей , , совпадают с ранее полученными величинами. Следовательно, задача решена правильно.

Ответ: Х _A=1,41 кН, X _B= 0, Z _A = 1 кН, Z_B = 0 кН, кН.

Рис. 54 Рис. 1.8

Задача 5. Прямоугольная плита весом

закреплена при помощи шарового шарнира А и цилиндрического подшипника В, стержневая опора С удерживает плиту от опрокидывания. На плиту действует сила

, расположенная в плоскости параллельной координатной плоскости В yz и направленная под углом b к плите.

Определить реакции опор А, В, С.

Дано: Р = 10 кН; = 20 кН; АВ = 4 м; АС = 3 м; АK = 1,5 м; СЕ = 1 м; a = 60°, b = 30°. Определить реакции опор (рис. 54).

1.Рассмотрим равновесие плиты.

2.Начало системы координат xyz поместим в точку А.

3.На схеме закрепления плиты покажем заданные силы , . Так как плита однородная, то ее вес приложен в геометрическом центре в точке О, а направление силы задано в условии задачи.

4.Освобождаем плиту от связей, а их действие заменяем реакциями. Реакция шарового шарнира А приложена в центре шарнира, ее направление зависит от действующих на плиту сил и заранее неизвестно. Поэтому изобразим реакцию шарового шарнира А ее составляющими , , , направленными по осям координат.

5.Реакция цилиндрического подшипника В приложена в центре подшипника, лежит в плоскости перпендикулярной оси подшипника. Направление этой реакции зависит от действующих на плиту сил и так же заранее неизвестно. Поэтому покажем ее двумя силами , , направленными по соответствующим осям координат.

6.Реакцию стержневой опоры направляем вдоль стержня от плиты, предполагая при этом, что стержень растянут.

7.Плита находится в равновесии под действием заданных сил , и реакций связей , , , , , , которые нужно определить.

7.система вышеуказанных сил является пространственной. Составим уравнения равновесия.

1. X_A + X_B = 0;

2. ; Y_A + cos = 0;

3. ; Z_A + Z_B – P + sin = 0;

4. ; Z_B + cos = 0

5. ;

Рис. 55

Замечание. Для определения проекций сил на координатные оси и моментов сил относительно оси нужно спроецировать все силы на плоскость, перпендикулярную этой оси. Например, силы, действующие на плиту, спроецируем на плоскость, перпендикулярную оси x (рис. 55). Из рисунка легко определяются проекции сил на оси y и z. А моменты проекций этих сил определяем относительно точки пересечения оси x с плоскостью Аyz, т.е. точки А. Так момент силы

относительно точки А равен m_x (Z_В) = m_А (Z_В) = Z_В

АВ, где АВ – плечо силы

Момент силы относительно точки А можно определить по теореме Вариньона. Для этого силу разложим в точке ее приложения на составляющие: горизонтальную ' = cosb и вертикальную

'' = sinb. Момент силы относительно точки А будет равен алгебраической сумме моментов сил ' и '' относительно той же точки m_x () = m_А ( ') + m_А ( '') = – ' KК' = cosb АK sina, момент силы '' равен нулю m_А ( '')=0, так как линия действия этой силы проходит через центр моментов А.

Из уравнения (5), сократив его на , определим :

, т.е. при заданной нагрузке усилие в стержне равно нулю и он установлен для придания жесткости данной конструкции.

Из уравнения (4) определим Z_B =10,6 кН, из уравнения (3)

Z_А = 10,6 кН, из уравнения (6) X_B = кН, из уравнения (1)

X_A = кН, из (2) Y_A = 17,32 кН.

Проверка: Для проверки решения поместим начало новой системы координат x₁y₁z₁ в точку В и составим уравнение моментов относительно оси x₁.

Для составления этого уравнения воспользуемся рекомендацией сделанной выше. Спроецируем все силы на плоскость перпендикулярную оси x₁ и составим уравнение моментов относительно точки пересечения оси x₁ с плоскостью В y₁z₁, т.е. относительно точки В.

(рис.55)

В уравнение подставим все известные числовые значения:

Отсюда Z_А = 10,6 кН. Это значение реакции Z_А совпадает с рассчитанным из уравнения (3).

Ответ: X_A = кН, X_B = кН, Z_А = 10,6 кН, Z_B =10,6 кН,

Y_A = 17,32 кН,

Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:

5 6 7 8 9 10 11

Подборка статей по вашей теме: