Пример 1. Решить уравнение .
Решение. Разделим обе части уравнения на . Получим
.
Полученное уравнение имеет вид , где и . Правая часть уравнения является функцией одной переменной, следовательно, решаемое уравнение - однородное. Сделаем замену , тогда и уравнение принимает вид , где -новая неизвестная функция. Осталось решить уравнение или
Правая часть этого уравнения представляет собой произведение двух функций и зависит только от , -только от , это уравнение с разделяющимися переменными. Для его решения разделим переменные. Умножая уравнение на и деля на , получим . Интегрируя последнее равенство, найдем (произвольную постоянную можно обозначить не , а ). Тогда , т.е.
; .
Возвращаясь к исходной неизвестной функции, имеем .
Пример 2. Решить уравнение
Решение. Разделим уравнение на Получим уравнение вида , где т.е. линейное уравнение первого порядка. Будем его решать методом Бернулли, т.е. искать решение в виде , где подлежат определению. Поскольку , то уравнение принимает вид
|
|
В качестве возьмем любую функцию, обращающую в ноль сомножитель при , т. е. частное решение уравнения Это уравнение с разделяющимися переменными, поэтому, умножая его на и деля на , получим
т. е. . Следовательно, (произвольная постоянная не добавляется, так как берется частное решение).
Поставим найденное v в исходное уравнения, тогда второе слагаемое в правой части обратится в ноль, и для получим уравнение
; .
Отсюда, используя формулу интегрирования по частям, найдем
Возвращаясь к исходной неизвестной функции , находим решение:
Пример 3. Решить уравнение
Решение. Уравнение имеет вид где , т.е. это уравнение Бернулли. Решение уравнения будем искать в виде . Поскольку , то уравнение примет вид
Возьмем в качестве любую функцию, обращающую в ноль второе слагаемое левой части, т.е. частное решение уравнения . Это уравнение с разделяющимися переменными. Его решение имеет вид Подставляя найденное в исходное уравнение, получим
Опять получили уравнение с разделяющимися переменными, решение которого
Возвращаясь к исходной неизвестной функции , находим решение
Некоторые типы уравнений второго порядка приводятся к уравнениям первого порядка. К ним относятся:
1) Уравнения вида , которые не содержат явным образом . Обозначим производную через т.е.
Тогда
Подставляя эти выражения производных в исходное уравнение, получим уравнение первого порядка.
|
|
2) Уравнения вида , которые не содержат явным образом .
Положим и, так как то для определения производной применим правило дифференцирования сложной функции
Подставляя выражения производных в исходное уравнение, получим уравнение первого порядка относительно вспомогательной функции
.
Пример 4. Решить уравнение .
Решение. Вводим новую функцию , , тогда . Подставив ее в уравнение, имеем
.
Это линейное уравнение первого порядка относительно и его решение разыскиваем в виде произведения
Учитывая требования , , находим функцию : подставляем в уравнение для определения
Отсюда
.
Таким образом, , и можно найти функцию y
,
Пример 5. Найти общий интеграл уравнения .
Решение. Уравнение не содержит явным образом . Следовательно, допускается понижение порядка. Обозначим
Тогда .
Получим уравнение с разделяющимися переменными , интегрируя которое, находим или
Откуда
Решение линейного неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и непрерывной правой частью вида
(1)
ищется в виде суммы , где -частное решение исходного уравнения (1), а -общее решение соответствующего однородного уравнения
. (2)
Вид общего решения определяется корнями характеристического уравнения. Вид частного решения - видом правой части уравнения (1).
1) Пусть (3)
где - многочлен -ой степени. Тогда существует частное решение вида , где , а принимает одно из трех возможных значений 0, 1, 2:
2) Пусть правая часть уравнения (1) может быть представлена в виде
(4)
где и степени многочленов и . Тогда существует частное решение вида
(5)
где , -полные многочлены степени , а принимает одно из двух значений 0 или 1:
Если правая часть уравнения (1) может быть представлена в виде суммы функций (3), (4), т. е. , то частное решение уравнения ищется в виде суммы , где -частное решение уравнения , а -частное решение уравнения .
Пример 6. Найти общее решение дифференциального уравнения
Решение. Общее решение уравнения имеет вид , где -общее решение однородного уравнения . Составляем и решаем характеристическое уравнение
-частное решение исходного уравнения, которое определяем по виду правой части Здесь следовательно
25
10
1
Для определения коэффициентов А и В нужно решение и его производные подставить в исходное уравнение. Для этого умножаем соответственно на , и (коэффициенты уравнения) и складываем. Затем приравниваем коэффициенты при в одинаковых степенях, представив правую часть уравнения в виде
,
,
,
.
Решая полученную систему, найдем , . Следовательно,
.
Общее решение заданного уравнения имеет вид
.
Система дифференциальных уравнений вида
где , , …, - неизвестные функции независимой переменной , называется нормальной системой.
Если правые части нормальной системы дифференциальных уравнений являются линейными функциями относительно , , …, , то система дифференциальных уравнений называется линейной.
Иногда, нормальную систему дифференциальных уравнений удается свести к одному уравнению -го порядка, содержащему одну неизвестную функцию. Сведение нормальной системы к одному уравнению может быть достигнуто дифференцированием одного из уравнений системы и исключением всех неизвестных, кроме одного (так называемый метод исключения).
Рассмотрим этот метод на конкретных примерах.
Пример 7. Найти общее системы дифференциальных уравнений
Решение. Продифференцируем по первое уравнение: . Подставляя сюда выражения и из системы, получим
|
|
или имеем . Характеристическое уравнение
имеет корни . Следовательно, общее решение для запишется в виде
Общее решение для находим из первого уравнения:
.
Пример 8. Найти общее системы дифференциальных уравнений
Решение. Продифференцируем по первое уравнение: . Исключая из полученного уравнения , имеем . Еще раз продифференцируем по полученное уравнение второго порядка: . Исключая , получим
,
т.е. мы пришли к уравнению с одной неизвестной функцией. Решив это линейное однородное уравнение третьего порядка, получим
.
Общее уравнение для получим из первого уравнения системы:
или
.
Из второго уравнения системы найдем :
Пример 9. Найти частные производные второго порядка функции
Решение. Рассматривая, как постоянную величину, получим
Аналогично, рассматривая как постоянную величину, получим
Так же находим и производные второго порядка
Пример 10. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области
Решение. Указанная область есть треугольник АВС (рис.1). Функция, дифференцируемая в ограниченной замкнутой области, достигает своего наибольшего (наименьшего) значения или в стационарной точке, или на границе области.
-1 -3
-1
|
|
-3
Рис. 1
Найдем стационарные точки из условия В нашем случае
Решая систему уравнений, получим . Точка является стационарной. Находим Исследуем функцию на границах. На линии : , . Задача сводится к отысканию наибольшего и наименьшего значений функции одной переменной на отрезке [-3,0].
- стационарная точка функции одной переменной. Вычисляем
На линии : ; - cтационарная точка. Вычисляем
На линии : и ; -стационарная точка,
Сопоставляя все полученные значения функции , заключаем, что в точках и С (0;-3), в точке .
Пример 11. Даны: функция , точка и вектор . Найти: 1) grad z в т. ; 2) производную в точке по направлению вектора
Решение. 1) Градиент функции имеет вид
grad .
Вычисляем частные производные в точке
Таким образом, grad z
2) Производная по направлению вектора , определяется по формуле
где - угол, образованный вектором с осью . Тогда
Используя значения производных в точке , найденные ранее, получим
Пример 12. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
Решение. Если область определена неравенствами
то объем тела находится по формуле
Для определения пределов интегрирования сделаем чертеж данного тела и его проекции на плоскость XOY (рис 2а и 2б).
Следует обратить внимание на то, что для переменной x границами являются наибольшее и наименьшее значения в заданной области, т.е. .
Рис. 2а
Переменная y является функцией переменной x. На рисунке видно, что область D ограничена снизу кривой , а сверху – кривой . Следовательно, .
Рис.2б
Аналогично, из рисунка тела видно, что оно снизу ограничено плоскостью , а сверху поверхностью . Таким образом, переменная z является функцией двух переменных x и y, и
Пример 13. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
и расположенного в первом октанте
Решение. Данное тело ограничено сверху параболоидом . Область интегрирования - круговой сектор, ограниченный дугой окружностью , являющейся линией пересечения параболоида с плоскостью , и прямыми и . Следовательно,
.
Поскольку областью интегрирования является часть круга, а подынтегральная функция зависит от , целесообразно перейти к полярным координатам. Преобразование двойного интеграла от прямоугольных координат , к полярным координатам , связанным с прямоугольными координатами соотношениями , , осуществляется по формуле
.
Уравнение окружности в этих координатах примет вид , подынтегральная функция равна , а пределы интегрирования по определяем из уравнений прямых: , т.е. ; , т.е. . Таким образом, имеем
Пример 14. Вычислить криволинейный интеграл вдоль 1) ломаной от точки до точки , где ;2) дуги эллипса
Решение. Пусть кривая L задана уравнениями в параметрической форме . Пусть точкам M и P этой кривой соответствуют значения параметра t соответственно. Тогда Если кривая задана уравнением , причем точке M соответствует , а точке P - , то
1) Криволинейный интеграл вдоль ломаной L можно разбить на сумму двух интегралов: вдоль отрезков AB и BC. Запишем уравнение прямой, проходящей через две точки A и B
Найдем производную
Уравнение отрезка BC имеет вид . В этом случае Таким образом,
3) Кривая задана в параметрическом виде. Найдем производные
.
Тогда
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Таблица производных простейших элементарных функций.
I. (С)¢ = 0.
II. в частности
III. (log а х)¢ = log а е, в частности (ln х)¢ = .
IV. в частности,
V. (sin х)¢ = cos х.
VI. (cos х)¢ = - sin х.
vii. ()¢ =
VIII. (ctg x)¢=
IX. (arcsin х)¢ = .
X. (arccos x)¢ = .
XI.(arctg x)¢ = .
XII. (arcctg x)¢ = .
XIII. (sh х)¢ = ch х.
XIV. (ch х)¢ = sh х.
XV. (th x) ¢ =
XVI. (cth x) ¢ =
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
Таблица интегралов простейших элементарных функций
I.
II.
III.
IV.
V.
VI.
VII.
VIII.
IX.
X.
XI. .
XII.
XIII.
XIV.