Свойство коммутативности

ОТЧЕТ ПО ПРАКТИКЕ

Вариант 5

Студент КИ11-08Б 04.10.12 Яровая Д. С.

номер группы подпись, дата инициалы, фамилия

Преподаватель КошурВ.Д.

подпись, дата инициалы, фамилия

Красноярск 2012

Содержание

Задание №1. 3

Задание №2. 4

Задание №3. 7

Задание №4. 9

Задание №5. 11

Задание №6. 13

Задание №7. 14

Задание №8. 15

Задание №9. 16

Задание №10. 17

Задание №1

Подготовить реферат на тему: Тема варианта N, объемом 7-15 страниц и быть готовым к собеседованию по этой теме.

Вариант 5. Тема: Введение в методы оптимизации.

См. приложение 1.

Задание №2

Научиться строить графики функций Y=f(X) и поверхностей функций Z=F(X,Y). Для визуализации использовать графические средства MATHCAD и MATLAB. В отчете кратко описать порядок построения и привести по своему выбору 4 рисунка для разных функций одной и двух переменных (по 2 примера – график и поверхность в MATHCAD и MATLAB).

Построение графиков в MATHCAD.

Построим функцию:

1) Напишем эту функцию в главном окне.

2) Перейдём в меню графиков.

3) Создадим линейный график, в нём укажем промежутки и аргументы функции f(x) и x.

Рисунок 1. Линейный график в MATHCAD.

Построим функцию:

1) Напишем эту функцию в главном окне.

2) Перейдём в меню графиков.

3) Создадим поверхностный график, в левом нижнем углу укажем имя функции, f.

Рисунок 2. Объёмный график в MATHCAD.

Построение графиков MATLAB.

Построим функцию: tg(x)

1) Зададим вектор абсцисс узловых точек функций. X=0:0.5:10

2) Используем команды для построения графиков функции: plot(x,tg(x))

Рисунок 3. Линейный график в MATLAB.

Построим функцию

1) Определим матрицы с X и Y координатами точек сетки: [X,Y]=meshgrid(0:.1:5,0:.1:5); или [X,Y]=meshgrid(0:.1:5,0:.1:5)

2) Зададим функцию: Z=

3) Создадим объёмный график с помощью команды: mesh(X,Y,Z)

Рисунок 4. Объёмный график в MATLAB.

Задание №3

Привести, по своему выбору, по 2 примера теорем из математических курсов, в которых используются:

· необходимые условия.

· достаточные условия.

· условия эквивалентности.

Необходимые условия:

1. Необходимое условие экстремума

Если функция нескольких переменных u = f(x1, x2, …, xn) имеет экстремум в некоторой точке, то в этой точке каждая ее частная производная равна нулю или не существует.

2. Необходимое условие интегрируемости по Риману.

Если функция интегрируема на отрезке, то она ограниченна на нём.

Достаточные условия:

1. Первый достаточный признак экстремума

Если производная f '(x) функции f(x) обращается в нуль в точке x₀ или не существует и при переходе через x₀ меняет свой знак, то функция f(x) имеет в этой точке экстремум (максимум, если знак меняется с "+" на "-", и минимум, если знак меняется с "-" на "+").

2. Достаточное условие вогнутости (выпуклости) функции.

Пусть функция f (x) дважды дифференцируема (имеет вторую производную) на интервале (a, b), тогда:

если f '' (x) > 0 для любого x (a, b), то функция f (x) является вогнутой на интервале (a, b);

если f '' (x) < 0 для любого x (a, b), то функция f (x) является выпуклой на интервале (a, b).

Условия эквивалентности:

Если из предложения А следует предложение В, то говорят, что В – необходимое условие для А, а А – достаточное условие для В.

Другими словами, предикат В(х) логически следует из предиката А(х), т.е. А(х) В(х), то А(х) называют достаточным условиемдля В(х), а В(х) – необходимым условием для А(х).

Если же предложенияА и В равносильны, то говорят, что А – необходимое условие для В, и наоборот. Другими словами, если из предиката А(х) логически следует предикат В(х), а из предиката В(х) логически следует предикат А(х),т.е. А(х) В(х), то А(х) – необходимое и достаточное условие для В(х), а В(х) – необходимое и достаточное условие для А(х).

Теорема Кронекера – Капелли

Для совместности системы необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы коэффициентов А этой системы был равен рангу ее расширенной матрицы.

Задание №4

Кратко пояснить понятие «контрпримеры в анализе» и по своему выбору привести 5 нетривиальных примеров из разных областей знаний, когда наличие хотя бы одного контрпримера полностью опровергает выдвинутую гипотезу или утверждение.

Контрпример - пример, опровергающий верность некоторого утверждения.

Примеры

1. Всюду разрывная функция, абсолютное значение которой есть всюду непрерывная функция

2. Функция,не являющаяся производной.

Любая функция с разрывом в виде скачка, не является производной какой-либо функции, т.к она не обладает свойством Коши - принимать все промежуточные значения, потому что это свойство не только для непрерывных функций,но и производных.

3. Теорема Эйлера

Пусть В — число вершин выпуклого многогранника, Р — число его ребер и Г — число граней. Тогда верно равенство B-P+Г=2.

Первый контрпример дал Симон Люилье в 1812 г.; при рассмотрении коллекции минералов он обратил внимание на прозрачный кристалл полевого шпата, внутри которого был чёрный кубический кристалл сернистого свинца. Люилье понял, что куб с кубической полостью внутри не подчиняется формуле Эйлера. Позже были обнаружены и другие контрпримеры (например, два тетраэдра, склеенные по ребру или имеющие общую вершину), и формулировка теоремы была уточнена: она верна для многогранников, топологически эквивалентных сфере^[1].

4. Размножение в биологии

Особи, образовавшиеся в результате бесполого размножения, всегда генетически идентичны родительскому организму (если не брать в расчёт мутации).

Наиболее яркий контрпример — размножение спорами у растений, так как при спорообразовании происходит редукционное деление клеток, в результате чего в спорах содержится лишь половина генетической информации, имеющейся в клетках спорофита.

5. Закон Дюверже — один из принципов в политологии, который утверждает, что избирательная система при которой «победитель получает все», как правило, приводит к установлению двухпартийной политической системы. Эту тенденцию обнаружил Морис Дюверже, французский социолог и политолог, который описал этот эффект в ряде статей, опубликованных в 1950-х и 1960-х годах.^[1]^[2]

Индия имеет несколько региональных партий.
Шотландия имеет целый ряд больших конкурирующих политических партий.
В Великобритании с февраля 1974 года альянс Либеральной партии и Либеральных демократов на всеобщих выборах регулярно набирает от 15 % до 25 % голосов.

В Канаде, сравнительно небольшие партии, например, Новая демократическая партия, имеют постоянное представительство в парламенте. По крайней мере четыре, а иногда и пять политических партий были представлены в канадском парламенте в любое время, начиная с 1993 года

Задание №5

Привести по своему выбору по 3 разных примера числовых последовательностей, которые:

· сходятся к числу N+0.1, N-0.02, N*0.003, где N - номер вашего варианта,

· имеют пределы подпоследовательностей, лежащих в интервале (4.999, 5.001),

· имеют предел (∞) для четных вариантов заданий и (-∞) для нечетных вариантов,

· являются ограниченными и не имеют предела.

1. N=5

1.1. 5+0.1=5.1

1.2. 5-0.02=4.98

1.3.

2.1. y_n=

2.2. y_n=5+

2.3. y_n=5+

3.1. ; n->

3.2. n-> -0

3.3. n->

4.1.

4.2.

4.3.

Задание №6

Привести по своему выбору 3 разных примера графиков функций, которые имеют 4 точки разрыва 2 – первого рода и 2 второго рода.

1. f(x)=

Разрыв II рода в точках 1 и -1. Разрыв I рода в точке 2 и 3. (рис. 1)

2. f(x)=

Разрывы II рода в точках -2 и 0. Разрыв I рода в 2 и 4. (рис. 2)

3. f(x)=

Разрывы II рода в точках-1,5 и 0,5. И I рода в точках 1 и 3. (рис. 3)

рис. 1 рис. 2

Рис. 3

Задание №7

Привести по своему выбору 3 разных примера графиков функций, которые являются непрерывными, но не гладкими в 5 точках их области определения, так что в этих точках левые производные - отрицательные, а правые производные – положительные.

Рис. 4. Пример графика функций №1

Рис. 5. Пример графика функций №2

Рис. 6. Пример графика функций №3

Задание № 8

Привести по своему выбору 3 разных примера двух множеств на числовой прямой или плоскости, которые:

· являются ограниченными, открытыми и эквивалентными по мощности (конечной, счетной, несчетной),

· являются неограниченными, счетными, не совпадающими, но имеющими бесконечное число точек в их пересечении.

Множество R (действительных чисел) [0;1] не является счетным;

1. A = { x: и B = { x: ;

и ;

и .

2. и

Задание №9

Изложить свои соображения по вопросу:

· почему операция умножения матриц не является коммутативной,

· привести пример, по своему выбору, конкретных матриц 3x3, когда при их умножении коммутативность все же будет иметь место.

Произведением матрицы A=( размерности m*n на матрицу B=( размерности n*k называется матрица С=( ) размерности m*k, где

т.е элемент матрицы матрицы С равен сумме произведений элементов p -й строки матрицы А на соответствующие элементы t -го столбца B.

Свойство коммутативности

A*B=B*A

Данное свойство может выполняться, а может и нет.

Докажем исходя из определения: размерность матрицы m*n умноженной на матрицу размерности n*k будет матрица m*k матрица 3*2 умноженная на 2*5 будет матрица 3*5. А умножить матрицу 2*5 на матрицу 3*2 нельзя.

Значит для коммутативности нужно использовать только квадратные матрицы.

Из опыта можно найти 4 разных случая, когда при умножении матриц будет иметь свойство коммутативности.

1. Одна из матриц является единичной.

2. Одна из матриц является нулевой.

3. Обе матрицы имеют одинаковые элементы т.е они равны.

4. Вспомним правило треугольника для нахождения определителя. Чтобы найти определить нужно взять с плюсом и вычислить элементы .

Так вот если элементы на плюсе равны и матрица B является транспонированной матрицей А. То коммутативность имеет смысл.

, .

5. Умножение двух диагональных матриц коммутативно.

Задание №10

Как восстановить элементы матрицы в заданном базисе, если известны её собственные числа и собственные вектора, всегда ли решение будет единственным? Привести, по своему выбору, соответствующие примеры.

Пусть

A* =λ* ,

λ-некоторое число.

Ненулевой вектор , удовлетворяющий этому условию, называется собственным вектором линейного преобразования А, а соответствующее число λ называется собственным числом. Исходя из этого можно по собственным числам и векторам восстанавливать матрицы.

где координаты первого собственного вектора, а первое собственное число.

Для вторых собственных векторов и чисел составляем такие же уравнения. Если будет больше векторов, то больше уравнений делаем, затем объединяем уравнения с одинаковыми коэффициентами.

На данном примере мы получаем две системы уравнений.