Задача 4. Повторение независимых испытаний

 

В задачах 4.1 - 4.5. Вероятность всхожести семян в некоторых ус­ловиях равна р. Посеяно n семян. Найти:

1) вероятность того, что:                 

а) взойдет ровно m семян;

б) взойдет менее m семян:

2) наивероятнейшее число семян, которые могут взойти из указанного количества

4.1. р=0,55     n=7  m=4;

4.2. р=0,62     n=6  m=2;

4.3. р=0,7       n=8  m=5;

4.4. р=0,8       n=5  m=3;

4.5. р=0,45     n=10 m=8.

 

В задачах 4.6 - 4.10. Вероятность выигрыша по одному билету ло­тереи равна р. Имея k билетов, найти:

1) вероятность того, что:

а) выиграют ровно m билетов;

б) выигрышных билетов окажется не более m;

2) наивероятнейшее число выигрышных билетов.

4.6. р=0,1     k=7  m=3;

4.7. р=0,05   k =5 m=2;

4.8. р=0,2     k=6  m=4;

4.9. р=0.07   k=8  m=3,

4.10. р=0,08   k =4 m=2.

 

В задачах 4.11 - 4.15. Вероятность рождения мальчика равна р. В семье, имеющей m детей, найти:

1) вероятность того, что:

а) мальчиков будет ровно k;

б) мальчиков будет не менее k;

2) наивероятнейшее число рождаемости мальчиков для семьи, имеющей m детей.

4.11. р=0.45    k=5 m=2;

4.12. р=0.52    k=6 m=3;

4.13. р=0.57    k=4 m=2;

4.14. p=0.48    k=7 m=4;

4.15. p=0.5      k=8 m=3.

В задачах 4.16 - 4.20. Вероятность работы автомата в некоторый момент времени равна р. Имеется k независимо работающих автоматов в некоторый момент времени. Найти:

1) вероятность того, что:

а) будут работать в данный момент ровно m автоматов:

б) будут работать не более m автоматов;

2) наивероятнейшее число работающих автоматов среди k автоматов.

4.16. р=0.8     k=7 m=4;

4.17. р=0.75   k=5 m=3;

4.18. р=0.67   k=6 m=2;

4.19. p=0.9     k=8 m=5;

4.20. p=0.72   k=9 m=6.

 

Задача 5. Формула Пуассона

 

5.1. Среднее число вызовов, поступающих на АТС в одну минуту, рав­но четырем. Найти вероятность того, что за две минуты поступит:

а) 6 вызовов; б) менее 6 вызовов.

5.2. Среднее число кораблей, прибывающих в порт за один час, равно трем. Найти вероятность того, что за четыре часа в порт прибудут;

а) 5 кораблей; б) не менее 5 кораблей.

5.3. Среднее число заявок, поступающих в телеателье в течение часа, равно четырем. Найти вероятность того, что в течение трех часов поступит:

а) 7 заявок; б) более 7 заявок.

5.4. Среднее число самолетов, прибывающих в аэропорт за одну ми­нуту, равно четырем. Найти вероятность того, что за две минуты в аэропорт прибудут:

а) 5 самолетов; б) более пяти самолетов.

5.5. Среднее число вызовов, поступающих на АТС в течение часа, равно 300. Найти вероятность того, что в течение двух минут поступит.

а) 20 вызовов; б) более 20.

5.6. Книга в 500 страниц имеет 50 опечаток. Найти вероятность того, что на случайно выбранной странице будет обнаружено;

а) 4 опечатки; б) не менее 4 опечаток.

5.7. Вероятность появления бракованной детали равна 0,008. Найти вероятность того, что из 500 случайно отобранных деталей окажется:

а) 3 бракованных; б) не более 8 бракованных деталей.

5.8. Устройство содержит 1000 независимо работающих элементов. Вероятность отказа любого элемента в течение часа равна 0,003. Найти ве­роятность того, что за час откажут:

а) 4 элемента; б) не менее 4 элементов.

5.9. Среднее число автобусов, прибывающих на автовокзал в течение часа, равно 7. Найти вероятность того, что в течение трех часов на автово­кзал прибудут:

а) 10 автобусов; б) более 10 автобусов.

5.10. Среднее число клиентов, приходящих в часовую мастерскую в течение часа, равно 5. Найти вероятность того, что в течение четырех часов мастерскую посетят:

а) 7 клиентов; б) более семи клиентов.

5.11. На станцию скорой помощи в течение часа в среднем поступает 20 вызовов. Найти вероятность того, что в течение 15 минут будет принято:

а) 4 вызова; б) не менее 4 вызовов.

5.12. Тираж книги 50000. Вероятность дефектной брошюровки книги равна 0.001. Найти вероятность того, что в тираже содержится:

а) 5 дефектно сброшюрованных книг;

б) менее 5 дефектно сброшюрованных книг.

5.13. Вероятность изготовления дефектной детали 0,002. Найти веро­ятность того, что среди 800 случайным образом отобранных деталей окажется:

а) 6 дефектных; б) не более 6 дефектных деталей.

5.14. Образец радиоактивного вещества в среднем за 10 секунд испус­кает 4 заряженные частицы. Найти вероятность того, что за две секунды об­разец испустит:

а) 2 частицы; б) более 2 частиц.

5.15. В камере Вильсона регистрируется в среднем 18 элементарных частиц в час. Найти вероятность того, что в течение 30 минут будет зареги­стрировано:

а) 3 частицы; б) не более 3 частиц.

5.16. Среди семян пшеницы 0,4 % семян сорняков. Найти вероятность того, что при случайном отборе 5000 семян обнаружат:

а) 8 семян сорняков;

б) не менее 5 семян сорняков

5.17. Среднее число отказов в работе радиоэлектронной схемы за 10000 часов равно 8. Найти вероятность отказа схемы:

а) за 10 часов; б) более 10 часов.

5.18. Среднее число звонков, поступающих по телефону "Доверие", в течение суток равно 200. Какова вероятность того, что в течение трех часов будет:

а) 40 звонков; б) не менее 40 звонков.

5.19. Среднее число бракованных изделий в партии из 1000 изделий равно 8. Наугад из этой партии выбирают 100 изделий. Какова вероятность того, что среди выбранных изделий:

а) нет бракованных; б) не менее 2-х бракованных.

5.20. В результате некоторого испытания возможность осуществления некоторого события А характеризуется вероятностью р=0.001. Выполнено 200 таких взаимно независимых испытаний. Найти вероятность того, что со­бытие А произошло:

а) 2 раза; б) не более 10 раз

 

Задача 6. Повторные независимые испытания.

Локальная теорема Лапласа

 

Задачи 6.1 - 6.20. На конвейер за смену поступает n изделий. Веро­ятность того, что поступившая на конвейер деталь стандартна равна р. Най­ти вероятность, что стандартных деталей за смену на конвейер поступило ровно m.

6.1. n=300,              р=0.75,   m=240

6.2. n=400,              р=0.8,     m=330

6.3. n=625,              р-0.8,      m=510

6.4. n=150,              р=0.6,          m=75

6.5. n=100,              р=0.9,     m=96

6.6. n=192,              р=0.75,   m=150

6.7. n=600,              р=0.6,     m=375

6.8. n=400,              р=0.9,     m=372

6.9. n=144,              р=0.8,     m=120

6.10. n=100,                 р=0.85,   m=92

6.11. n=220,              р=0.55,   m=140

6.12. n=350,              р=0.6,     m=260

6.13. n=300,              р=0.9,     m=280

6.14. n=500,              р=0.75,   m=390

6.15. n=200,              р=0.65,   m=190

6.16. n=180,              p=0.72,   m=140

6.17. n=420,              р=0.83,   m=380

6.18. n=250,              р=0.67,   m=210

6.19. n=600,              р=0.84,   m=570

6.20. n=200,              р=0.67,   m=150

 

Задача 7. Повторные независимые испытания.

Интегральная теорема Лапласа

Задачи 7.1-7.20. Наугад выбраны n изделий. Вероятность того, что изделие стандартно, равна р. Найти вероятность того, что среди вы­бранных изделий окажется от m1 до m2 стандартных.

7.1.n=100,        р=0.8,            m1=70,         m2=80

7.2.n=150,      р=0.6,            m1=78,         m2=96

7.3.n=400,      р=0.9,            m1=345,       m2=372

7.4.n=300,      р=0.75,          m1=210,       m2=225

7.5.n=400.      p=0.5,            m1=190,       m2=215

7.6.n=625,      р=0.64,          m1=400,       m2=430

7.7.n=300,      р=0.7,     m1=180,       m2=210

7.8.n=400,      р=0.8,            m1=280       m2=340

7.9.n=200,      p=0.75,          m1=130,      m2=160

7.10. n=500,      p=0.55,          m1=210,      m2=270

7.11. n=250,      p=0.6.            m1=140,      m2=170

7.12. n=350,      p=0.9,            m1=280,      m2=310

7.13. n=180,      p=0.65,          m1=110,      m2=150

7.14. n=600,      p=0.7,            m1=400,      m2=450

7.15. n=370,      p=0.5,            m1=170,      m2=190

7.16. n=130,      p=0.72,          m1=80,        m2=90

7.17. n=240,      p=0.83,          m1=205,      m2=220

7.18. n=350,      p=0.62,          m1=190,      m2=210

7.19. n=420,      p=0.78,          m1=370,      m2=350

7.20. n=520,      p=0.9,            m1=470,      m2=495