Так как комплексная амплитуда

то используя (8) получим формулу для расчета коэффициентов комплексного ряда Фурье:

 (15)

Множество коэффициентов комплексного ряда Фурье, рассматриваемое как функция частоты, называют комплексным спектром периодического колебания.

СПЕКТРЫ НЕПЕРИОДИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ

Непериодическое колебание можно представить как периодическое с бесконечно большим периодом  Рассмотрим спектр колебания с периодом, стремящимся к бесконечности. При этом разность соседних частот гармоник  стремится к нулю. Гармоники сближаются, и спектр становится сплошным. Комплексную амплитуду гармоники можно записать, заменив в выражении (15) множитель 2/ T множителем W/p:

В полученном выражении при  дискретная переменная nW превращается в непрерывную переменную w, частота W - в бесконечно малую величину dw, а комплексная амплитуда – в непрерывную функцию частоты w:

(16)

Так как dw - величина бесконечно малая, то также бесконечно малая. Следовательно, непериодическое колебание можно разложить на бесконечное число гармонических колебаний с бесконечно малыми амплитудами. На практике пользоваться бесконечно малыми величинами неудобно, поэтому спектр непериодического колебания описывается функцией спектральной плотности

 (17)

определенной на всей оси частот w: от  до .

Преобразование колебания по данной формуле называют прямым преобразованием Фурье и иногда записывают в виде

Обратное преобразование Фурье можно осуществить, подставив выражение (15) в (14)

и перейдя к пределу при . В этом случае интеграл (в квадратных скобках) превращается в функцию , а дискретная сумма – в интеграл:

 (18)

 Последнюю формулу называют обратным преобразованием Фурье, ее можно записать в виде