Работа линии в режиме постоянного напряжения

Постоянная распространения и волновое сопротивление

Величина в общем случае является комплексной.

Выражение называют постоянной распространения. Ее можно представить в алгебраической форме где – коэффициент затухания, характеризующий затухание тока и напряжения на единицу длины линии, – коэффициент фазы, характеризующий изменение фазового сдвига между током и напряжением на единицу длины лини.

Таким образом

(29.1)

Из выражения для тока

величину принято называть волновым сопротивлением.

Выражение тока и напряжения в любой точке линии через ток и напряжение в ее начале или конце

Постоянные интегрирования, входящие в уравнения линии, в общем случае являются комплексными и определяются из начальных условий, которыми могут быть любые две из четырех величин: напряжение и ток в начале линии ( либо напряжение и ток в ее конце .

Выразим напряжение и ток в любой точке линии через напряжение и ток в ее начале. Как и раньше, под х будем понимать расстояние от начала линии до текущей точки.

Пусть при х = 0 (начало линии) напряжение и ток соответственно равны

Перепишем уравнения линии с учетом волнового сопротивления:

(29.2)

При х = 0 эти уравнения принимают вид

откуда

Подставляя найденные постоянные интегрирования в уравнения (29.2), получаем

Введем гиперболические функции:

Тогда уравнения принимают вид:

(29.3)

Эти формулы дают возможность найти комплексы напряжения и тока в любой точке линии, расположенной на расстоянии х от ее начала.

Следует иметь в виду, что аргумент гиперболических функций в этих формулах является комплексным числом

Гиперболические функции комплексного аргумента являются комплексными и могут быть изображены векторами на комплексной плоскости.

Если за начало отсчета х принять конец линии, то по известным и в конце линии при х = 0 аналогично вычисляются постоянные интегрирования, а формулы для определения напряжения и тока в любой точке линии имеют вид:

(29.4)

Работа линии в режиме постоянного напряжения

Если к началу линии приложено постоянное напряжение U ₀₁, то в установившемся режиме напряжения и токи в линии также будут постоянными.

При подстановке в уравнения линии вместо мгновенных значений постоянных U ₀ и I ₀ производные по t будут равны нулю и уравнения станут обычными (не в частых производных), в которых независимой переменной является текущая координата х.

При i = I ₀, u = U ₀

Решение этой системы уравнений может быть получено из решения для установившегося синусоидального режима при ω = 0.

Тогда постоянная распространения равна коэффициенту затухания, а волновое сопротивление .

Тогда

(29.5)

Если напряжение и ток на конце нагруженной линии обозначить через U ₀₂ и I ₀₂, то постоянные интегрирования определятся следующим образом:

При х = 0 U ₀ = U ₀₂; I ₀= I ₀₂. Следовательно

(29.6)

откуда

Подставив полученные значения постоянных интегрирования в уравнения (29.5), получаем:

(29.7)

Таким образом, напряжение и ток в любой точке линии определяются алгебраическими суммами ординат двух экспоненциальных кривых, причем ординаты кривой уменьшаются от начала линии к концу, а ординаты кривой уменьшаются от конца линии к началу (рис.29.1).

Бегущие волны

Уравнения линии для режима синусоидального напряжения имеют вид:

, где

Кроме того, введем значение Тогда

Комплекс напряжения в линии принимает вид

Перейдем к мгновенному значению напряжения

(29.8)

Следовательно, мгновенное значение напряжения в линии можно рассматривать как сумму двух составляющих, зависящих от х и t.

Зафиксируем некоторый момент времени и выясним зависимость напряжения в линии от координаты х, т.е. от расстояния от начала линии.

В любой фиксированный момент времени, в соответствии с выражением (29.8), обе составляющие напряжения представляют собой произведение экспоненты и синусоиды, причем амплитуда первой составляющей затухает от конца линии к началу, а амплитуда второй – от начала к концу (рис.29.2).

Так как выражение комплексного тока имеет такой же вид, как и комплекс напряжения, мгновенное значение тока можно рассматривать как наложение двух затухающих синусоидальных волн

(29.9)

Значения напряжения перемещаются вдоль линии и затухают. Иными словами, напряжение и ток в линии представляют собой сумму двух бегущих волн. Одна перемещается от начала линии к концу и называется падающей волной; другая перемещается от конца линии к началу и называется отраженной волной.

Падающей электромагнитной волной называют процесс перемещения электромагнитного состояния (электромагнитной волны) от источника к приемнику.

Отраженной электромагнитной волной называют процесс перемещения электромагнитного состояния от приемника к источнику.

Падающая волна состоит из двух волн тока и напряжения (вторые слагаемые).

Отраженная волна также состоит из двух волн тока и напряжения (первые слагаемые).

Знак (-) у отраженной волны тока свидетельствует о том, что поток энергии, который несет с собой отраженная электромагнитная волна, движется в обратном направлении по сравнению с потоком энергии, который несет падающая волна. Каждая из составляющих падающей волны (I, U) представляет собой синусоидальное колебание, амплитуда которого уменьшается с ростом х (множитель ), а аргумент является функцией времени t и координаты х.

Каждая из составляющих отраженной электромагнитной волны затухает по мере продвижения волны от конца к началу линии. Физически эффект уменьшения амплитуды падающей и отраженной волн по мере продвижения их по линии объясняется наличием потерь энергии в линии.

С какой же скоростью перемещается волна вдоль линии? Эту скорость называют фазовой скоростью V_ф, т.е. скоростью перемещения вдоль линии неизменного фазового состояния (или скорость, с которой нужно перемещаться вдоль линии, чтобы наблюдать одну и ту же фазу колебаний).

Условием постоянства фазы падающей волны является