Теорема Умова – Пойнтинга в комплексной форме

Комплексная мощность цепи переменного тока равна

Знак (*) означает, что комплекс сопряженный.

Пусть цепь переменного тока содержит последовательно соединенные активное сопротивление R, индуктивность L и емкость С. Тогда реактивная мощность

Здесь

 и

где U_C – напряжение на конденсаторе.

Таким образом, реактивная мощность равна разности между магнитной и электрической энергиями цепи, умноженной на 2ω. В цепи переменного тока для вычисления полной мощности  надо умножить комплекс напряжения на сопряженный комплекс тока. Подобно этому в данном случае вводится в употребление комплексный вектор Пойнтинга . Вместо  теперь будет

В соответствии с (45.1) и (45.2)

, .

Следовательно,  и

Поэтому

(45.5)

Первое слагаемое правой части (45.5) представляет собой активную мощность, второе – реактивную. Таким образом, теорему Умова – Пойтинга можно записать еще следующим образом: .

В таком виде ее часто используют для определения активного и внутреннего реактивного сопротивления проводников на переменном токе.

Вопросы для самоконтроля

1. Запишите уравнения Максвелла в комплексной форме.

2. Какие соотношения в переменном электромагнитном поле описывает теорема Умова-Пойнтинга?

3. Чему равен поток вектора Пойнтинга сквозь любую замкнутую поверхность?

4. Проделайте вывод теоремы Умова-Пойнтинга в комплексной форме.