Аналитическая зависимость от параметра. Рассматривая интеграл Коши, мы видим, что подынтегральная функция зависит от двух комплексных переменных: переменной интегрирования и фиксированного значения переменной . Тем самым интеграл Коши является интегралом, зависящим от параметра . Естественно поставить вопрос об общих свойствах интегралов по комплексной переменной, зависящих от параметра.
Пусть задана функция двух комплексных переменных , однозначно определенная для значений комплексной переменной из области и для значения комплексной переменной , принадлежащих некоторой кусочно-гладкой кривой С. Взаимное расположение области и кривой может быть совершенно произвольно. Пусть функция двух комплексных переменных удовлетворяют следующим условиям:
a) Функция при любом значении является аналитической функцией в области .
b) Функция и ее производная являются непрерывными функциями по совокупности переменных при произвольном изменении в области и на кривой ;
|
|
Условие () означает, что действительная и мнимая части функции непрерывны по совокупности переменных .
Очевидно, что при сделанных предположениях интеграл от функции по кривой существует при любом и является функцией комплексной переменной
(14)
Естественно поставить вопрос о свойствах функции . Оказывается, что при сделанных предположениях относительно функции функция является аналитической функцией комплексной переменной в области , причем производную функции можно вычислять при помощи дифференцирования под знаком интеграла.
Для того чтобы доказать это утверждение, рассмотрим криволинейный интеграл
.
Так как, по предположению, функции и обладают частными производными по и , непрерывными по совокупности переменных, то частные производные функции по переменным , существуют и их можно вычислить при помощи дифференцирования под знаком интеграла (14):
Сами функции и являются непрерывными функциями переменных , в области . На основании аналогичных свойств функции и используя условия Коши-Римана для функции , получим
(15)
Таким образом, для выполнены условия Коши-Римана (частные производные функции и непрерывны и связаны соотношениями (15)), что и доказывает аналитичность в области .
Заметим, что
(16)
Отсюда следует возможность вычисления производной от интеграла путем дифференцирования подынтегральной функции по параметру. При этом, если удовлетворяет тем же условиям () и (), что и , то также является аналитической функцией в области .