Практическое применение

Уравнение для потенциала в узлах

Рис. 1. Фрагмент цепи: узел с примыкающими звеньями

Рассмотрим фрагмент цепи, состоящий из узла и примыкающих к нему звеньев (рис. 1). Согласно 1-му закону Кирхгофа сумма токов в узле равна нулю:

Ток в звене определим исходя из закона Ома для участка цепи:

откуда

Обозначив проводимости рёбер через

получим окончательное уравнение для узла

Последнее уравнение получено исходя из предположения, что все источники тока и ЭДС направлены в сторону рассматриваемого узла. Если какой-либо источник направлен в противоположную сторону, его ЭДС или ток необходимо взять с обратным знаком.

Записав последнее уравнение для каждого узла цепи кроме базового, получим систему уравнений для узловых потенциалов.

Практическое применение

[править] Составление системы уравнений

Перед началом расчёта выбирается один из узлов (базовый узел), потенциал которого считается равным нулю. Затем узлы нумеруются, после чего составляется система уравнений.

Уравнения составляются для каждого узла, кроме базового. Слева от знака равенства записывается:

· потенциал рассматриваемого узла, умноженный на сумму проводимостей ветвей, примыкающих к нему;

· минус потенциалы узлов, примыкающих к данному, умноженные на проводимости ветвей, соединяющих их с данным узлом.

Справа от знака равенства записывается:

· сумма всех источников токов, примыкающих к данному узлу;

· сумма произведений всех ЭДС, примыкающих к данному узлу, на проводимость соответствующего звена.

Если источник направлен в сторону рассматриваемого узла, то он записывается со знаком «+», в противном случае — со знаком «−».

Рис. 2. Пример электрической схемы

[править] Пример системы уравнений

На схеме (рис. 2) четыре узла. Потенциал в узле 0 принят равным нулю (φ₀ = 0). Записываем уравнения для узлов 1, 2 и 3:

где проводимости рёбер равны

 

Метод наложения — метод расчёта электрических цепей, основанный на предположении, что ток в каждой из ветвей электрической цепи при всех включённых генераторах, равен сумме токов в этой же ветви, полученных при включении каждого из генераторов по очереди и отключении остальных генераторов(только в линейных цепях).

Метод наложения используется как для расчёта цепей постоянного тока, так и для расчёта цепей переменного тока.

Найти ток методом наложения в цепи, показанной на рисунке. , , .

Пример метода наложения

При отключённом генераторе 2 ток найдём по формуле:

.

При отключённом источнике 1, ток будет

,

а ток будет

.

Тогда ток при обоих включённых источниках будет равен сумме токов и :

.

В задаче за положительные направления токов и приняты направления, совпадающие с направлением, показанным на рисунке для тока . То же самое для тока

 

Теоремы об эквивалентном источнике напряжения и эквивалентном источнике тока.

Курс теории электрических цепей является составной частью курса теоретических основ электротехники (ТОЭ). Это фундаментальная наука, базирующаяся на исследованиях в области электрических и магнитных явлений.

Теорема об эквивалентном источнике (эквивалентном генераторе)

Определения

Автономный двухполюсник – двухполюсник, напряжение холостого хода или ток короткого замыкания которого не равны нулю.

Комплексное входное сопротивление двухполюсника – отношение комплексной амплитуды напряжения на его зажимах к амплитуде тока.

Ток произвольной ветви линейной электрической цепи не изменится, если автономный двухполюсник, к которому подключена данная ветвь, заменить эквивалентным линеаризованным источником энергии, который может быть представлен последовательной или параллельной схемой замещения. Э. д. с. идеального источника напряжения в схеме замещения равна напряжению холостого хода автономного двухполюсника, ток тока равен току короткого замыкания а внутреннее сопротивление и внутренняя проводимость эквивалентного равны соответственно комплексному входному сопротивлению комплексной входной проводимости двухполюсника.

Доказательство. Введем в выделенную ветвь k—k' два вспомогательных независимых источника напряжения> и , э. д. с. которых равны по значению, но противоположны по направлению (рис. 8.5, а). Введение двух скомпенсированных источников э. д. с. не нарушает режима работы цепи, поэтому ток ветви k—k' преобразованной цепи равен току исходной цепи. Далее, используя принцип наложения, представим ток рассматриваемой ветви преобразованной цепи в виде суммы двух составляющих:

,

где> —частичный ток k-ой ветви, создаваемый действием независимого источника напряжения и всех независимых источников, входящих в состав автономного двухполюсника АД, а — частичный ток k-oй ветви, вызываемый действием независимого источника напряжения .

Из эквивалентной схемы, изображенной на рис. 8.5, б следует:

,

Выберем так, что . Тогда напряжение на внешних зажимах АД равно напряжению холостого хода автономного двухполюсника Используя выражение (3.11), найдем значение э. д. с. при котором частичный ток k-ой ветви :

>

Рис. 8.5. К доказательству теоремы об эквивалентном источнике.

(АД – автономный двухполюсник, НД неавтономный двухполюсник)>

Используя эквивалентную схему (рис. 8.5, в) для определения частичного тока > находим

>

где Zэ — комплексное входное сопротивление исходного автономного двухполюсника, равное комплексному входному сопротивлению приведенного на рис. 8.5, в неавтономного двухполюсника НД. Как видно из выражения (8.2), ток k-ой ветви исходной цепи (рис. а) равен току некоторой цепи, содержащей Zk, источник напряжения > и комплексное сопротивление Zэ = Zkk. Итак, ток ветви не изменился при замене автономного двухполюсника эквивалентным источником энергии, э. д. с. которого равна напряжению холостого хода автономного двухполюсника, а внутреннее сопротивление – его комплексному входному сопротивлению.

Переходя от последовательной схемы замещения эквивалентного источника к параллельной, можно показать, что значение тока Jэк независимого (см. рис. 8.5, в) равно току короткого замыкания автономного двухполюсника, а внутренняя проводимость Yэ — его комплексной входной проводимости Уэ = l/Zkk.

Воспользовавшись теоремой об эквивалентном источнике, можно найти последовательную или параллельную схемы замещения любого сколь угодно сложного линейного активного двухполюсника. Эта теорема позволяет существенно упростить анализ цепей в тех случаях, когда требуется определить ток напряжение только одной ветви сложной цепи. В связи с тем, что параметры элементов последовательной и параллельной схем двухполюсника легко поддаются измерениям, выполняемым на внешних зажимах, теорему источнике применяют для построения эквивалентных активных двухполюсников по результатам их экспериментального исследования.

Выделим из рассматриваемой цепи ветвь, содержащую сопротивление Z6, и представим остальную часть последовательной схемой замещения (рис. 8.6, а).

Методы анализа цепей, ориентированные на применение средств вычислительной техники Общие представления о программах машинного анализа цепей.

Формирование компонентных уравнений цепи Для составления уравнений электрического равновесия цепи с помощью ЭВМ необходимо формализовать исходные о топологии и параметрах входящих в нее элементов.

Формирование топологических уравнений цепи Топологические свойства цепи полностью определяются ее графом, которому ставятся в соответствие топологические матрицы: матрица узлов А, главных контуров В, матрицу сечений Q и др.

Метод переменных состояния Наличие интегралов в уравнениях электрического равновесия цепи, составленных методами узловых напряжений и контурных токов, значительно затрудняет решение этих уравнений течение длительного времени ограничивало возможности применения данных методов при машинном анализе цепей.

Цепи с индуктивной связью Понятие взаимной индуктивности. Одноимённые зажимы.

Одноименные зажимы При анализе цепей с взаимной индуктивностью возникает задача определить, каким образом (согласно или встречно) по отношению к выбранным условным положительным направлениям токов включены рассматриваемые индуктивные катушки и в соответствие этим какой знак (плюс минус) необходимо использовать выражениях (10.10), (10.11).

Метод двух узлов

Данный метод является частным случаем метода узловых потенциалов для схемы с двумя узлами и произвольным количеством любых ветвей (активных и пассивных).

В общем случае включения n+m ветвей между некоторыми узлами a-b напряжение между ними определяется выражением

где å(Ek gk) – алгебраическая сумма произведений ЭДС ветвей на проводимости этих ветвей;

å(Jj) – алгебраическая сумма токов источников тока ветвей между узлами a и b;

å(gk) – сумма проводимостей всех ветвей между узлами a-b.

 

Резонанс токов — резонанс, происходящий в параллельном колебательном контуре при его подключении к источнику напряжения, частота которого совпадает с собственной частотой контура.

Описание явления

Пусть имеется колебательный контур с частотой собственных колебаний a, и пусть он подключен к генератору переменного тока такой же частоты f.

В момент подключения конденсатор заряжается от источника. После чего он начинает разряжаться на катушку, причем разряжается с такой же скоростью, с какой убывает напряжение на генераторе. Через некоторое время энергия конденсатора полностью переходит в энергию магнитного поля катушки. Напряжение на клеммах генератора в этот момент равно нулю.

Далее магнитное поле катушки начинает убывать, так как не может существовать стационарно — на выводах катушки появляется ЭДС индукции, которое начинает перезаряжать конденсатор. В цепи колебательного контура течет ток, только уже противоположно току заряда, так как витки пересекаются полем в обратном направлении. Обкладки конденсатора перезаряжаются зарядами, противоположными первоначальным. Одновременно растет напряжение на генераторе, причем с той же скоростью, с какой катушка заряжает конденсатор. Но ток от генератора не может течь через колебательный контур — как только на клеммах генератора появляется напряжение, точно такое же напряжение появляется на выводах конденсатора вследствие перезаряда его катушкой. Напряжения конденсатора и генератора друг друга компенсируют.

Далее энергия магнитного поля катушки полностью переходит в энергию электрического поля конденсатора. Напряжение генератора в этот момент достигает максимума. Далее конденсатор разряжается на катушку, цикл повторяется в обратном направлении. В результате, в колебательном контуре циркулируют весьма большие токи, но за его пределы не выходят — выходить им мешает точно такое же, только противоположно направленное напряжение на генераторе. Большой ток от генератора течет через контур только короткое время после включения, когда заряжается конденсатор. Далее генератор работает почти вхолостую — как только на его клеммах появляется напряжение, точно такое же противоположно направленное напряжение появляется на конденсаторе и не пропускает ток от внешнего источника через контур.

Вышесказанное справедливо для контура с очень хорошей добротностью (низкими потерями энергии за цикл).

Ситуация изменится, если отбирать от контура во время его работы некоторую мощность. Тогда за цикл часть энергии контура будет теряться и конденсатор будет перезаряжаться контурной катушкой до меньшего напряжения, чем напряжение внешнего генератора. В этом случае генератор будет дозаряжать конденсатор, компенсируя таким образом потери за цикл. Через контур потечет переменный ток, который, однако, может быть меньше того, что циркулирует в самом контуре.

[править]Замечания

· Колебательный контур, работающий в режиме резонанса токов, не является усилителем мощности.

Большие токи, циркулирующие в контуре, возникают за счет мощного импульса тока от генератора в момент включения, когда заряжается конденсатор. При значительном отборе мощности от контура эти токи «расходуются», и генератору вновь приходится отдавать значительный ток подзарядки.

· Если генератор слабый, большой ток подзарядки может сжечь его. Выйти из положения можно, постепенно повышая напряжение на клеммах генератора, «раскачивая» контур.

· Колебательный контур с низкой добротностью слишком хорошо "накачивается" энергией (образует короткое замыкание по катушке), что может привести к выходу из строя задающего генератора. Для повышения добротности колебательного контура нужно по возможности увеличить L и уменьшить C.

Если увеличить L с помощью увеличения витков катушки или увеличения длины провода не представляется возможным, используют ферромагнитные сердечники или ферромагнитные вставки в катушку; катушка обклеивается пластинками из ферромагнитного материала и т п.

[править]Применение

· Высокодобротный колебательный контур оказывает току определенной частоты f значительное сопротивление. Вследствие чего явление резонанса токов используется в полосовых фильтрах как электрическая «пробка», задерживающая определенную частоту.

· Так как току с частотой f оказывается значительное сопротивление, то и падение напряжения на контуре при частоте f будет максимальным. Это свойство контура получило название избирательность, оно используется в радиоприемниках для выделения сигнала конкретной радиостанции.

· Колебательный контур, работающий в режиме резонанса токов, является одним из основных узлов электронных генераторов.

 

 

Частотные характеристики напряжения на параллельном колебательном контуре
Двухполюсные цепи, содержащие индуктивности и емкости, реактивные сопротивления которых имеют противоположные знаки, обладают специфическими частотными свойствами. При определенных частотах в таких цепях может наблюдаться полная компенсация реактивного сопротивления (X = 0), входное сопротивление принимает чисто активный характер, напряжение и ток на входе цепи совпадают по фазе (j = 0) — в цепи наблюдается резонанс. В резонансных режимах токи и напряжения на отдельных участках цепи могут существенно превышать входные величины. Как будет показано далее, это позволяет выделять резонансные частоты из спектра колебаний сложной формы, однако в ряде случаев возникновение резонансного режима может вызвать и нежелательные последствия: перегрузку или повреждение элементов цепи при появлении больших токов и напряжений.

Для определения резонансных частот двухполюсной цепи используется равенство нулю ее эквивалентного реактивного сопротивления или проводимости X = 0, B = 0.

Решение этих уравнений относительно частоты приводит к определению резонансных частот w₀. Для цепей, включающих элементы R, L, C, оба указанных условия эквивалентны, так как эквивалентные реактивные параметры двухполюсника связаны соотношением B = X /(R ² + X ²). Для цепей без потерь, составленных только из индуктивностей и емкостей, при нулевом эквивалентном активном сопротивлении имеем B = 1/ X, и оба условия дают различные значения резонансных частот. В таких цепях при условии X = 0 при резонансе обращается в нуль напряжение на входе цепи, а при B = 0 равен нулю входной ток двухполюсника. Существование таких режимов возможно, так как в цепи без потерь протекание токов в отдельных ветвях не сопровождается потерями энергии в цепи, на преодоление которых требовалось бы потребление активной мощности от источника.

Рассмотрим частотные свойства простейших цепей с последовательным или параллельным соединением индуктивности и емкости — колебательных контуров.

Комплексное входное сопротивление последовательного колебательного контура (рис. 8.7) равно , его полное сопротивление .

Рис. 8.7

Частотная зависимость z (w) имеет минимум при условии X = w L – 1/w C = 0 на резонансной частоте ω₀ = 1/Ö LC.

В режиме резонанса Z = R и, несмотря на присутствие реактивных элементов, ток в цепи совпадает по фазе с входным напряжением (j = 0).

Проанализируем частотные зависимости X (w) и z (w). При w ® 0 полное сопротивление цепи неограниченно возрастает за счет роста емкостного сопротивления 1/w C, при w ® ¥ неограниченно возрастает индуктивное сопротивление, и z ® ¥ (рис. 8.8).

Рис. 8.8

Частотные зависимости тока в цепи и напряжений на ее элементах выражаются формулами:

Вид их частотных характеристик (рис. 8.9) определяется характером частотной зависимости z (w). Зависимости I и U имеют максимум на резонансной частоте w₀

При w ® 0 и w ® ¥ ток в цепи и напряжение на резисторе убывают до нуля.

Рис. 8.9

Напряжение U_C при w = 0 равно входному напряжению U, так как конденсатор в этом режиме представляет разрыв в цепи. При w ® ¥ напряжение U_C убывает за счет спада тока и сопротивления 1/w C. Зависимость U_C (w) может иметь максимум в окрестности резонанса (рис. 8.9). При определенных соотношениях между параметрами контуравозможен монотонный спад кривой U_C (w).

Напряжение U_L, равное нулю при w = 0, затем возрастает, либо достигая максимума в окрестности резонанса (рис. 8.9), либо монотонно приближаясь к напряжению U при w ® ¥, когда сопротивление w L неограниченно растет и индуктивность эквивалентна разрыву в цепи.

На резонансной частоте оба напряжения U_{C 0} и U_{L 0} равны и, полностью компенсируют друг друга (см. векторную диаграмму на рис. 8.7, б):

Величина w₀ L / R = 1 / (w₀ CR)= Ö L/C/R = Q — добротность контура, показывает, во сколько раз напряжения на реактивных элементах U_C 0 и U_L 0 при резонансе превосходят напряжение источника U. Эта величина определяет также и характер кривых U_C (w) и U_L (w). Монотонный характер этих зависимостей наблюдается при . Обратная величина d = 1/ Q — это затухание контура.

Рассматривая U_R в качестве выходного напряжения цепи, проанализируем характер зависимости U_R (w) в окрестности резонансной частоты w₀.

Рис. 8.10

Передаточная функция K (w) = UR / U 0 = имеет при резонансе максимум, равный единице. Найдем значения частот w1 и w2, при которых значение K (w) уменьшается до 1 /Ö2(рис. 8.10). При этих частотах значение подкоренного выражения, увеличивается вдвое по сравнению со своим значением при резонансе, равным R 2. Это дает условия для определения частот w1 и w2:

Отсюда имеем:

Разность w₂ – w₁ — полоса пропускания цепи — определяет диапазон частот, в котором отличие сигнала на выходе цепи от своего максимального значения не превосходит Ö2. При использовании логарифмических единиц это соответствует 3 дБ. Для мощности P, являющейся квадратичной функцией напряжения, отношение P / P _max на границах полосы пропускания при частотах w₁ и w₂ составляет 1/2.

Подобное понятие вводится не только для колебательного контура, но и для произвольной цепи, в которой в качестве полосы пропускания принимают диапазон частот, в котором активная мощность, выделяемая в нагрузке, составляет не менее половины от своего максимального значения, или напряжение на нагрузке U _н > U _{н max}/Ö2. Хотя понятие полосы пропускания является условным, оно отражает избирательный характер передачи сигнала от источника к нагрузке.

Используя полученные выражения для w₁ и w₂, для полосы пропускания контура найдем Dw = w₂ – w₁ = R / L. Отношение резонансной частоты w₀ к Dw равно добротности контура: w₀/Dw = L /(R Ö LC) = Ö L/C/R = Q. Таким образом, у резонансного контура с более высокой добротностью, относительная ширина полосы пропускания Dw/w₀ ýже. Это свойство колебательных контуров используют на практике для выделения сигнала данной частоты из совокупности различных частот.

Контур с параллельным соединением G, L, C (рис. 8.11) дуален последовательному контуру.

Рис. 8.11

Поэтому изучать его свойства будем с использованием аналогии, вытекающей из принципа дуальности. Так, частотная зависимость полной проводимости контура совпадает с зависимостью z (w) (рис. 8.8) при замене R на G. Полное сопротивление параллельного контура имеет вид, выражаемый кривой тока на рис. 8.9 — оно максимально при резонансной частоте ω0 = 1/Ö LC и уменьшается до нуля при w ® 0 и при w ® ¥.

У контура с высокой добротностью Q = Ö C/L/G этот спад имеет резкий характер, для идеального контура с G = 0 имеем z (w₀) = ¥.

При питании параллельного контура от источника тока I = const частотные зависимости U, I_G, I_L и I_C (обозначения в скобках на рис. 8.9) тождественны изображенным на рис. 8.9 кривым I, U_R, U_C и U_L. При частотах, близких к резонансной, ток в параллельных ветвях L и C высокодобротного контура значительно превышают ток входной ветви I; отношение I_{L 0}/ I = I_C 0/ I = Q.

Анализ работы контура при питании от источника напряжения U приводит к элементарным результатам: I_G = UG; I_L = U /w L; I_C = U w C. Зависимости токов в ветвях контура от частоты имеют очевидный характер. Для общего тока имеем в этом случае I = Uy. Эта зависимость подобна кривой z (w) (рис. 8.8).

Рассмотренные свойства последовательного и параллельного колебательных контуров показывают, что подобные двухполюсники удобно использовать для фильтрации сигналов — подавления или выделения определенных частот путем настройки контура на эту частоту в качестве резонансной. При высокой добротности полное сопротивление последовательного контура, малое при частотах, близких к резонансной, резко возрастает при удалении от нее. Сопротивление высокодобротного параллельного контура, наоборот, весьма велико при резонансной и близких к ней частотах, и резко падает при удалении от резонансной частоты. Это позволяет осуществить ограничение сигнала данной частоты путем включения параллельных LC -звеньев последовательно в цепь прохождения тока к нагрузке и последовательных LC -цепочек параллельно сопротивлению нагрузки (рис. 8.12, а).

Рис. 8.12

При соблюдении условий в сопротивлении R _н ток частоты w₀ будет отсутствовать.

Для решения противоположной задачи — выделения сигнала с частотой w₀ из спектра частот — последовательные и параллельные контуры следует включить противоположным образом (рис. 8.12, б). Настройка обоих контуров на частоту w₀ приводит к тому, что все сигналы, частота которых отличается от данной, будут ослабляться подобным фильтром.

Параллельный колебательный контур с потерями (рис. 8.13).

Рис. 8.13

Оценим, насколько зависят частотные свойства идеального параллельного LC -контура от потерь энергии в активных сопротивлениях элементов контура R 1 и R 2. Для определения резонансной частоты используем выражение комплексной проводимости контура = , или

Его мнимая часть определяет реактивную проводимость . Изусловия B = 0 найдем . Отсюда следует, что при больших значениях R ₁ или R ₂, когда подкоренная дробь становится отрицательной, резонанс в цепи отсутствует. Это характерно для цепей с резистивными элементами, в которых наличие катушек и конденсаторов не гарантирует возникновения резонансного режима. В отличие от параллельного контура без потерь (R ₁ = R ₂ = 0), обладающего нулевой входной проводимостью на резонансной частоте, контур с потерями имеет ненулевую проводимость при резонансе, так как протекание тока в параллельных ветвях сопровождается потерями, которые должны покрываться источником во входной ветви.

В остальном частотная зависимость y (w) контура с потерями при высокой добротности близка к частотной характеристике проводимости контура без потерь y (w) = ½1/(w L) – w C ½, отличаясь от последней тем, что проводимость контура с потерями сохраняет конечное значение при нулевой и бесконечно большой частотах.

Наибольший практический интерес рассматриваемая цепь представляет при R ₂ = 0, поскольку активное сопротивление катушки существенно превышает активное сопротивление конденсатора. В этом случае резонансная частота равна , а проводимость контура при резонансе y (w) = R ₁ C / L. При высокой добротности эта величина достаточно мала, что позволяет использовать подобный контур для эффективного подавления нежелательных частот в рассмотренных выше схемах фильтрации сигналов (см. рис. 8.12).

 

Метод компле́ксных амплитуд — метод расчета линейных электрических цепей, содержащих реактивные элементы, в установившемся режиме при гармонических входных сигналах, впервые применённый О. Хевисайдом.

Суть метода заключается в следующем:

· Для всех реактивных элементов определяется их комплексный импеданс.

· Все токи и напряжения рассматриваются в виде комплексных амплитуд.

После введения этих замен задача анализа цепи сводится к задаче анализа цепи на постоянном токе:

· импедансы трактуются как обычные сопротивления

· комплексные амплитуды токов и напряжений как обычные токи и напряжения

Таким образом, мы избавились от реактивности элементов и зависимости от времени сигналов. Эти факторы, затрудняющие математическое описание схемы, теперь перенесены в сигнал: все параметры зависят от частоты гармонического сигнала и являются комплекснозначными.

Задача анализа цепи на постоянном токе решается соответствующими методами, например, методом узловых потенциалов или методом контурных токов. После нахождения всех искомых комплексных амплитуд их можно при необходимости перевести обратно в гармонические сигналы.