Векторная запись нелинейных систем

Пусть требуется решить систему уравнений

                                                       (1)

где — заданные, нелинейные (среди них могут быть и линейные)

вещественнозначные функции п вещественных переменных . Обозначив

, ,

данную систему (2.1) можно записать одним уравнением

                                                               (2)

относительно векторной функции F векторного аргумента х. Таким образом, исходную задачу можно рассматривать как зада­чу о нулях нелинейного отображения   В этой постановке она является прямым обобщением основной задачи предыдущей главы — задачи построения методов нахождения нулей одномерных нелинейных отображений. Фактически это та же задача, только в пространствах большей размерности. Поэтому можно как заново строить методы ее решения на основе разработанных выше подходов, так и осуществлять формальный перенос выведенных для скалярного случая расчетных формул. В любом случае следует позаботиться о правомочности тех или иных операций над векторными переменными и векторными функциями, а также о сходимости получаемых таким способом итерационных процессов. Часто теоремы сходимости для этих процессов являются тривиальными обобщениями соответствующих результатов, полученных для методов решения скалярных уравнений. Однако не все результаты и не все методы можно перенести со случая п = 1 на случай п ≥2. Например, здесь уже не будут работать методы дихотомии, поскольку множество векторов не упорядочено. В то же время, переход от n = 1 до n≥ 2 вносит в задачу нахождения нулей нелинейного отображения свою специфику, учет которой приводит к новым методам и к различным модификациям уже имеющихся. В частности, большая вариативность методов решения нелинейных систем связана с разнообразием способов, которыми можно решать линейные алгебраические задачи, возникающие при пошаговой линеаризации данной нелинейной вектор-функции F(x).

2) Метод линеаризации.

С наиболее общих позиций метод Ньютона можно рассматривать как итерационный метод, использующий специальную линеаризацию задачи и позволяющий свести решение исходного нелинейного уравнения к решению последовательности линейных уравнений.

Пусть приближение  уже получено. Представим функцию в окрестности точки  по формуле Тейлора:

.                     (1.4)

Здесь  - некоторая точка, расположенная между  и . Заменяя в уравнении  функцию  главной линейной частью разложений (1.4), получим линейное уравнение:

.                                          (1.5)

Принимая решение уравнения (5) за новое приближение , приходим к формуле (1.3).