Сила давления жидкости на плоскую стенку

Рассмотрим вопрос о силе давления жидкости на плоскую стенку площадью  S, расположенную под произвольным углом a к горизонту и ограниченную произвольным контуром (Рис.13). Как известно, сила характеризуется тремя параметрами:

– направлением:

– величиной;

– точкой приложения.

 

 

Рис. 13. Схема для определения силы давления жидкости

на плоскую стенку

 

Давление в каждой точке стенки направлено по нормали к ней, следовательно, и равнодействующая сила давления будет перпендикулярна плоской стенке.

Ось 0x направим по линии пересечения стенки со свободной поверхностью жидкости, а ось 0y – перпендикулярно к этой линии в плоскости стенки.

Вычислим элементарную силу давления, приложенную к бесконечно малой площадке dS:

,

где p ₀ – давление на свободную поверхность;

h – глубина расположения площадки dS.

Для получения полной силы давления F проинтегрируем полученное выражение по всей площади S:

.

Полученный интеграл представляет собой статический момент площади S относительно оси 0x и равен произведению этой площади на координату ее центра масс (точка С), то есть

.

Следовательно,

,

где h_C, p_C – глубина расположения центра масс площадки и давление в этой точке.

Таким образом, полная сила давления жидкости на плоскую стенку равна произведению площади стенки на гидростатическое давление p_C в центре масс этой площади.

Силу давления F можно представить как сумму двух сил: F ₀ от внешнего давления p ₀ и силы F _ж от веса жидкости, то есть

F = F ₀ + F _ж = (p ₀ + p_C) S.

Если давление p ₀ равно атмосферному и действует также с обратной стороны стенки, то сила избыточного давления жидкости на плоскую стенку

F _изб = F _ж = g r h_CS = p_{C изб} S.

Наиболее сложным является вопрос о точке приложения силы давления на плоскую стенку. Сила F ₀ будет приложена в центре масс плоской стенки C, так как давление p ₀ действует на все точки стенки одинаково. Точка приложения силы F _ж отыскивается путем составления уравнения моментов равнодействующей и составляющих сил относительно горизонтальной оси, например, совпадающей с линией пересечения стенки со свободной поверхностью:

.

Выразим координату точки приложения силы y_D и подставим значения сил F _ж и dF _ж:

,

где  – момент инерции площади S относительно оси 0x.

Учитывая, что

где J_{x 0} – момент инерции площади S относительно горизонтальной оси, лежащей в плоскости стенки и проходящей через ее центр масс.

Отсюда, точка приложения силы F _ж имеет координату

Если давление p ₀ равно атмосферному, центр давления будет находиться в точке D. Как видно из формулы, y_D лежит ниже центра масс площади S. Если внешнее давление p ₀ > p_атм, то равнодействующая будет приложена выше т. D и наоборот. Точное ее место приложения вычисляют из уравнения моментов.