Уравнение прямой с угловым коэффициентом

 

Уравнение прямой с угловым коэффициентом выглядит следующим образом:

y - y_o = k (x - x_o),

где k - угловой коэффициент прямой, то есть k = tg a, где a - величина угла, образованного прямой с осью Оx, M (x_o, y_o) - некоторая точка, принадлежащая прямой.

Уравнение принимает вид y = kx + b, если M (0, b) есть точка пересечения прямой с осью Оy.

Пример. Построить прямую, заданную уравнением y = (3/4) x + 2.

 Отложим на оси Oy отрезок OB, величина которого равна 2, проведем через точку B параллельно оси Ox отрезок, величина которого BN = 4, и через точку N параллельно оси Oy отрезок, величина которого NM = 3. Затем проведем прямую BM, которая и является искомой. Она имеет угловой коэффициент k = ¾ и отсекает на оси Oy отрезок величины   b = 2.

 

Нормальное уравнение прямой

 

Нормальное уравнение прямой имеет следующий вид:

rn^о - р = 0,

где r - радиус-вектор произвольной точки M(x, y) этой прямой, n^о - единичный вектор, ортогональный этой прямой и направленный от начала координат к прямой; р - расстояние от начала координат до прямой.

Нормальное уравнение прямой в координатной форме имеет вид:

x cos a + y sin a - р = 0,

где a - величина угла, образованного прямой с осью Оx.

Для данной прямой, следовательно, p = 1, cos α = 3/5, sin α = -4/5.

Пример. Уравнение прямой 3x – 4y – 5 = 0 привести к нормальному виду. Нормирующий множитель μ =   -1 / √3² + 4² = - 1/5. Умножая на него обе части данного уравнения, получим:        

3/5x – 4/5y – 1 = 0.

                  

Уравнение пучка прямых

 

Уравнение пучка прямых с центром в точке   А(x₁, y₁) имеет вид:

y-y₁ = l(x-x₁),

где l - параметр пучка. Если пучок задается двумя пересекающимися прямыми A₁x + B₁y + C₁= 0, A₂ x + B₂ y + C₂ = 0, то его уравнение имеет вид:

l (A₁ x + B₁ y + C₁) + m (A₂ x + B₂ y + C₂)=0,

где l и m - параметры пучка, не обращающиеся в 0 одновременно.

Величина угла между прямыми y = kx + b и y = k₁ x + b₁ задается формулой:

tg j = .

Равенство 1 + k₁ k = 0 есть необходимое условие перпендикулярности прямых.

Для того, чтобы два уравнения

A₁ x + B₁ y + C₁= 0,

A₂ x + B₂ y + C₂ = 0,

задавали одну и ту же прямую, необходимо и достаточно, чтобы их коэффициенты были пропорциональны:

A₁/A₂ = B₁/B₂ = C₁/C_2.

Уравнения задают две различные параллельные прямые, если A₁/A₂ = B₁/B₂ и B₁/B₂ ¹ C₁/C_{2 ;} прямые пересекаются, если   A₁/A₂ ¹ B₁/B₂.

Расстояние d от точки M_о (x_о, y_о) до прямой есть длина перпендикуляра, проведенного из точки M_о к прямой. Если прямая задана нормальным уравнением, то d = êr_о n^о - р ê, где r_о - радиус-вектор точки M_о или, в координатной форме, d = êx_о cosa + y_о sina - р ê.

Общее уравнение кривой второго порядка имеет вид:

a₁₁x² + 2a₁₂xy + a₂₂y² + 2a₁x +2a₂y +a = 0.

Предполагается, что среди коэффициентов a₁₁, a₁₂, a₂₂ есть отличные от нуля.

Уравнение окружности с центром в точке С (a, b) и радиусом, равным R:

(x - a)² + (y - b)² = R².

 

 

Прямая в пространстве

Уравнение прямой в пространстве

Рассмотрим произвольную прямую, обозначим ее буквой а. Обозначим через П₁ и П₂ какие-нибудь две различные плоскости, пересекающиеся по прямой а и предположим, что уравнения этих плоскостей будут: A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0 и A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0. Так как прямая а представляет собой пересечение плоскостей П₁ и П₂, то она определяется совместным заданием двух уравнением:

A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0,

A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0.

Поставим задачу: всегда ли два уравнения первой степени совместно определяют некоторую прямую? Очевидно, это будет только в том случае, когда соответствующие им плоскости не параллельны и не совпадают друг с другом, т.е. когда нормальные векторы этих плоскостей N₁ = {A₁, B₁, C₁} и N₂ = {A₂, B₂, C₂} не коллинеарны. Эти два уравнения совместно определяют прямую только в том случае, когда коэффициенты A₁, B₁, C₁ одного из них не пропорциональны коэффициентам A₂, B₂, C₂ другого.