2020-01-14
88
1. Множество векторов трехмерного векторного пространства над полем 
, в котором роль бинарной операции умножения играет векторное произведение векторов.
Определение: Векторным произведением вектора 
на вектор 
называется вектор 
, который удовлетворяет следующим условиям:
1. 
;
2. имеет длину, численно равную площади параллелограмма, построенного на векторах и 
, как на сторонах, т.е. 
, где 
;
3. векторы , и образуют правую тройку векторов.
Обозначение: 
, где .
Свойства векторного произведения.
1. При перестановки сомножителей векторное произведение меняет знак, то есть 
Доказательство: Векторы 
и 
коллинеарные, имеют одинаковые модули (площадь параллелограмма остается неизменной), но противоположно направлены (тройки , , и , , противоположной ориентации). Следовательно, .
2. Векторное произведение обладает ассоциативным законом относительно операции умножения на скаляр, то есть 
.
Доказательство: Пусть 
. Вектор 
перпендикулярен векторам и . Вектор 
также перпендикулярен векторам и (векторы , 
лежат в одной плоскости). Значит, векторы и коллинеарные, сонаправленые (
), имеют одинаковую длину (
)
|
|
|
Поэтому 
. Аналогично доказывается при 
.
3. Два ненулевых вектора и коллинеарные тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору, то есть 
.
Доказательство: 
. Следовательно, .
В частности, 
.
4. Векторное произведение обладает законом дистрибутивности умножения относительно сложения, то есть 
