2020-01-14
447
Антиподом порождающих множеств является подгруппа Фраттини. Чтобы прийти к этому понятию, назовем подгруппу Н группы G максимальной подгруппой со свойством s, если Н обладает свойством s и не содержится ни в какой большей подгруппе с этим свойством. Если s — свойство быть меньше всей группы, то максимальные подгруппы со свойством s называются просто максимальными. Конечно, в группе может и не быть максимальных подгрупп <…>. По определению подгруппа Фраттини Ф (G) группы G — это пересечение всех ее максимальных подгрупп, если они существуют, и сама G — в противном случае.
Элемент х группы G назовем непорождающим элементом группы, если его можно удалить из любого порождающего множества группы G, в которое он входит.
Теорема
Множество S всех непорождающих элементов группы G совпадает с подгруппой Фраттини Ф (G).
Доказательство
а) S Í Ф (G). Действительно, если G не содержит максимальных подгрупп, то утверждение тривиально. Пусть теперь х Î S, Н — максимальная подгруппа из G *. Если х Ï Н, то (х, Н) = G, (Н) Ï G. Это противоречит включению х Î S. Значит, х Î Н, х Î Ф (G).
|
|
|
б) Ф (G) Í S. Пусть, напротив, существует элемент х Î Ф (G), который вместе с некоторым множеством М порождает G, но (М) ¹ G. По лемме Цорна существуют подгруппы Н, максимальные среди подгрупп, содержащих М и не содержащих х. Ясно, что все эти подгруппы просто максимальны. Но тогда они содержат Ф (G), а вместе с ней х, вопреки построению. Теорема доказана[17].
Примеры
1. В группе 
подгруппа (р) максимальна при любом простом р, поэтому Ф (
) = 0. Легко сообразить, что в группе 
любой элемент является непорождающим, поэтому Ф () = .
2. Так как группа С р ∞ совпадает с объединением подгрупп С рn, n =1, 2,…, то каждый ее элемент является непорождающим. Поэтому Ф (С р ∞) = С р ∞.
3. Можно проверить, что подгруппа Hi группы Sn, состоящая из всех подстановок, оставляющих символ i неподвижным, максимальна в Sn. Так как пересечение H 1 Ç…Ç Hn равно 1, то Ф (Sn) = 1.
Циклические группы
