Функція. Область визначення і множина значень функції

У природі та різних науках про природу зустрічаються величини, які при даних умовах або навіть за будь-яких умов: мають одне й те саме значення. Такі величини називають сталими. Якщо значення величини змінюється, то таку величину називають змінною.

Означення. Змінна величина називається функцією незалежних змінних якщо кожній сукупності значень змінних із деякої області відповідає одне певне значення величини із множини .

Область називається областю визначення, або областю існування функції , а множина всіх числових значень, прийнятих в області визначення, називається областю значень, або областю зміни функції .

У загальному випадку для позначення функціональної залежності вживається символ або

Нехай Сукупність чисел будемо тлумачити як координати точки тобто

При зміні значень точка буде переміщуватися в області існування причому кожному її положенню відповідає певне числове значення функції Ось чому функцію ще називають функцією точки і позначають таким самим символом,

В дальшому будемо детально вивчати лише випадки і Цього достатньо, щоб розглянути, що є спільного між функціями і та що нового виникає при переході від функції однієї змінної до функцій багатьох змінних.

Функцію можна задавати різними способами, і ніяких обмежень на форму не накладається. Ми лише назвемо ці способи: аналітичний, словесний, графічний, табличний і програмний.

Зауваження 1. В означенні поняття функції кожному значенню відповідає одне значення У цьому випадку функцію називають однозначною (на відміну від багатозначної функції, для якої відповідає не одна, а кілька, навіть нескінченна множина значень ). Надалі, якщо не буде оговорено окремо, під функцією розумітимемо однозначну функцію.

Зауваження 2. Областю в - мірному просторі називається множина точок цього простору, яка має такі дві властивості: кожна точка що належить є внутрішньою точкою (тобто входить в разом із деяким своїм околом); будь-які дві точки і що належить можна з’єднати неперервною лінією, що належить

Назвемо точку граничною для області якщо в будь-якому околі цієї точки містяться точки, які належать і не належать

Сукупність всіх граничних точок називається границею області Якщо додати до області її границю, одержимо замкнену область

Назвемо діаметром область /відкритої чи замкненої/ точно верхню границю взаємних віддалей будь-яких пар точок, що належать області.

Приклади.

1. Множина точок координати яких незалежно одна від другої задовольняють нерівності

називається ( - мірним) „прямокутним паралелепіпедом”.

Зокрема,

1) при така множина точок є відрізок ;

2) при така множина точок

є прямокутник ;

3) при така множина точок

є паралелепіпед ;

Якщо у наведених співвідношеннях виключити рівність

то цим означається відкритий „прямокутний паралелепіпед”

Околом точки називається будь-який відкритий „паралелепіпед”

з центром у точці .

2. Розглянемо множину точок , означену нерівністю

(або ),

якщо є стала „точка”, а - стале додатне число. Така множина утворює замкнену (або відкриту) - вимірну сферу радіуса із центром у точці . Зокрема,

1) при множина точок є відрізок;

2) при множина точок є круг;

3) при множина точок є сфера.

Відкриту сферу будь-якого радіуса , із центром у точці також розглядаємо як окіл цієї точки.