Сингулярные случайные величины

Кроме дискретных и непрерывных случайных величин существуют еще так называемые сингулярные случайные величины. Эти случайные величины характеризуются тем, что их функция распределения вероятностей  - непрерывна, но точки роста  образуют множество нулевой меры. Точкой роста  функции  называется значение ее аргумента  такое, что производная .

Таким образом,  почти всюду на области определения функции. Функцию , удовлетворяющую этому условию, также называют сингулярной. Примером сингулярной функции распределения является кривая Кантора (рис. 36.1), которая строится следующим образом. Полагается   при  и  при . Затем интервал  разбивается на три равных части (сегмента) и для внутреннего сегмента  определяется значение  - как полусумма уже определенных значений на ближайших сегментах справа и слева. На данный момент функция  определена для , ее значение , и для  со значением . Полусумма этих значений равна  и определяет значение  на внутреннем сегменте . Затем рассматриваются отрезки

Рис. 36.1. Построение кривой Кантора.

 и , каждый из них разбивается на три равных сегмента и функция  определяется на внутренних сегментах как полусумма ближайших справа и слева заданных значений функции . Таким образом, при  функция  - как полусумма чисел  и . Аналогично на интервале  функция . Затем функция  определяется на интервале , на котором  и т.д.

Суммарная длина всех внутренних сегментов равна

Поэтому, рассматривая интервал , говорят что функция  - постоянная на множестве меры 1, на множестве меры 0 растет, но без скачков.

Известна теорема Лебега. Любая функция распределения  может быть единственным образом представлена в виде суммы трех компонент: дискретной, непрерывной и сингулярной.

Сингулярные распределения практически не встречаются в реальных задачах и поэтому исключаются из нашего дальнейшего изучения.