Общие понятия устойчивости

Реферат

на тему:

"Устойчивость линейных систем автоматического управления"

 

Общие понятия устойчивости

 

Устойчивость – это свойство системы возвращаться в исходное состояние после вывода ее из состояния равновесия и прекращения действия возмущения. Устойчивость – это одно из основных требований, предъявляемых к системе. Если система не устойчива, то она не работоспособна. Рассмотрим математическое понятие устойчивости.

Движение линейной системы автоматического управления описывается линейным, неоднородным уравнением:

 

 

при этом правая часть – входное воздействие, а левая – реакция выхода.

Решение уравнения можно записать в виде:

 

 (1)

 

где - представляет собой общее решение однородного уравнения и определяет переходный процесс; - представляет собой частное решение неоднородного уравнения и определяет установившийся режим.

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

 

, (2)

 

где: С_к – постоянные интегрирования, которые зависят от начальных условий; - корни характеристического уравнения:

 

Рассмотрим характер решения при различных значениях корней характеристического уравнения.

1. Если корни действительные однократные

 

 

2. Если корни действительные кратные

 

 

3. Если корни комплексно – сопряженные однократные

 

 

4. Пусть корни комплексно – сопряженные кратные

 

 

Для того чтобы система была устойчивой решение должно удовлетворять условию

 

 (3)

 

Это условие выполняется, если корни характеристического уравнения системы расположены в левой полуплоскости комплексной плоскости P.

Для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы корни ее характеристического уравнения располагались в левой полуплоскости комплексной плоскости P.

Характеристическое уравнение системы можно представить в виде:

 

 (4)

 

Если уравнение содержит хотя бы один положительный корень, то хотя бы один коэффициент характеристического уравнения будет отрицательным. Необходимое, но недостаточное условие устойчивости (при n > 2) системы – это положительность коэффициентов характеристического уравнения.

Для нахождения корней характеристического уравнения необходимо решать алгебраические уравнения. Аналитическое решение уравнений 3-го и 4-го порядка громоздки, а уравнение выше 4-го порядка не имеют аналитического решения.

В теории автоматического управления разработан ряд так называемых критериев устойчивости, которые позволяют, не решая уравнений определять устойчивость систем.