Прямая в пространстве

Рассмотрим в пространстве две точки М1(X1; Y1; Z1) и M2(X2; Y2; Z2) можно провести единственную прямую. Пусть М(X; Y; Z) лежит на этой прямой, тогда векторы М1М2 и М1М каллинеарны М1М2(X2 – X1; Y2 –Y1; Z2 –Z1); M1M(X –X1; Y –Y1; Z – Z1). Из условия координат следует - 1). 1) – уравнение прямой в пространстве проходящей через две заданные точки. X2 – X1 = k Y2 –Y1 = l Z2 – Z1 = m A(k; l; m) êêпрямой проходящей через М1 и М2. - 2) уравнение прямой проходящей через заданную точку М1 с заданным направляющим вектором.

Взаимное расположение прямых и плоскостей. Пусть дана плоскость Ax + By + Cz + D = 0 - 3). Пусть дана прямая - 4). A(l; m; n)– направляющий вектор для прямой. Тогда A * n = êA ê* ên êsina. sina = = - 5). Из 5) следует, что прямая 4) êê3), тогда угол a = 0 следует Al + Bm + Cn = 0 – условие параллельности прямой плоскости. Если 4) ^3), то a =90. - условие перпендикулярности прямой и плоскости.

21. Кривые второго порядка. Эллипс. Гипербола. Парабола.

Общее у-е кривых второго порядка:

После изменения начала координат и переноса начала координат в новую т. или поворта координатных осей, кривые второго порядка могут быть преобразованы к более простому (каноническому) виду. В результате преобразований у-е может описывать следующие линии: эллипс; гиперболу; параболу; пару êêпрямых; пара пересекающихся прямых; точка.

Эллипс.

Эллипсом называют геометрическое место точек на плоскости, сумма расстояний от которых до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и большая чем расстояние между фокусами.

Пусть задан эллипс F₁ и F₂ – фокусы эллипса, выберем систему координат следующим образом, ось абсцисс проведём через фокусы, начало координат выберем между фокусами. F₁(c;0), F₂(-c,0), C>0.

Пусть т. М лежит на эллипсе êMF₁ê+êMF₂ê=const =2a>2c Þ a>c , , r₁ и r₂ –фокальные радиусы. , , , , , , , , , , , , , - каноническое у-е эллипса.

Из канонического у-ия следует, что вместе с т. М лежащей на эллипсе, точки М₁(х;-у), М₂(-х;у), М₃(-х;-у) так же лежат на эллипсе, таким образом эллипс симметричен оси абсцисс и оси ординат. - вершины.

Гиперболой называют геометрическое место точек на плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и меньшая чем расстояние между фокусами.

Пусть дана гипербола, F₁ и F₂ – фокусы гиперболы, выберем систему координат следующим образом, ось абсцисс проведём через фокусы, начало координат выберем между фокусами. F₁(c;0), F₂(-c,0)

, , , , , , , , , , , , , - каноническое у-е гиперболы.

Из канонического у-ия гиперболы получим , , ассимптоту гиперболы можно найти по формуле

Параболой называют геометрическое место точек на плоскости, расстояние от которых до фиксированной точки, называемой фокусам, равно расстоянию до фиксированной прямой, называемой директрисой.

Выберем систему координат следующим образом, ось абсцисс проведём через фокус ^ директрисе, начало координат выберем посередине между фокусом и директрисой.

тогда из определения - экцентрисситет.

1) , элиптический тип
1) , элиптический тип		Пара пересекающихся прямых (точка)
2) , гипербогический тип		гипербола
2) , гипербогический тип		Пара пересекающихся прямых
3) , параболический тип		парабола
3) , параболический тип		Пара êê прямых

23. Числовая последовательность. Основные понятия.

Пусть определено правило по которому каждому натуральному числу ставится в соответствии некоторое соответственное число, тогда говорят, что задана числовая последовательность. Мы будем рассматривать аналитический способ, в этом случае числовая последовательность задаётся с помощью математических выражений. .

Числа которые ставятся в соответствие натуральным числам, называются элементами последовательности. .

Числовая последовательность может быть задана рекуррентным способом, в этом случае каждый элемент числовой последовательности определяется при помощи пред идущих элементов.

Числовая последовательность называется монотонно возрастающей, если каждый следующий элемент больше предыдущего.

Числовая последовательность называется монотонно убывающей, если каждый следующий элемент меньше предыдущего.

Числовая последовательность называется неубывающей, если выполняется условие

Числовая последовательность называется стационарной, если .

Числовая последовательность называется ограниченной, если можно указать такое число А, что для всех n выполняется условие

- убывающая ограниченная, - ограниченная.

Пусть задана числовая последовательность, изобразим элементы этой последовательности в виде точек на числовой оси

тогда монотонное возрастание ч.п. означает, что каждая следующая тока расположена правее предыдущей.

Монотонное убывание ч.п. означает, что каждая следующая тока расположена левее предыдущей.

Очевидно, что числовая последовательность , будет ограниченной тогда и только тогда, когда можно указать отрезок , такой, что " ,

24. Сходящиеся последовательности. Свойства сходящихся последовательностей.

Ни для одного значения n для данной числовой последовательности не может выполнятся условие , действительно, если это условие выполнимо для данного ,

Элементы данной числовой последовательности могут сколь угодно близко располагаться около 1. , значит расстояние от точек соответствующее элементам , до точки 1 равно , поэтому какое бы не было положительное число d не было задано, всегда будет выполнятся условие , d=0,01, , n>100.

e - окрестностью числа А называется множество чисел удовлетворяющих неравенству e - интервал (А-e,А+e)

Пусть дана числовая последовательность . А – называется пределом числовой последовательности, если для любого сколь угодно малого числа e можно указать такй номер N, что все эти элементы числовой последовательности , будут попадать в e окрестности числа А при , , .

Последовательность для которой существует предел, называется сходящейся.

Если число А является пределом числовой последовательности А_n, то это означает, что все элементы числовой последовательности попадают в сколь угодно малую окрестность числа А, начиная с некоторого номера.

Теорема 1: всякая сходящая числовая последовательность имеет единственный предел.

Теорема 2: всякая сходящая числовая последовательность ограничена.

Теорема 3: пусть даны три числовые последовательности, , предположим, что " n .

Пусть последов. и являются сходящими, причём , тогда последовательность также является сходящейся и , теорема о двух милиционерах.

Выберем произвольное положительное число e, "e найдём N₁и N₂, такие чтобы выполнялись Þ неравенства:

, (1)

, (2)

N – max из (N₁, N₂), тогда "n>N одновременно выполняются неравенства:

А-e<a_n<A+e (3)

А-e<c_n<A+e (4)

Поэтому "n>N выполняются неравенство:

А-e<a_n<A+e, А-e<b_n<A+e, , таким образом является сходящейся и имеет .

Теорема 4: всякая монотонно возрастающая ограниченная числовая последовательность является сходящейся.

Всякая монотонно убывающая ограниченная числовая последовательность является сходящейся.

Арифметические св-ва сходящихся последовательностей.

, .

Теоремы:

3) А¹0,

25.

Понятие функции.

Пусть на некотором числовом множестве m определено правило, по которому каждому числу из множества m ставится в соответствии некоторое вещественное число. Тогда говорят, что на множество M задана функция. Множество M – называется областью определения этой функции. Обычно предполагают, что множество M представляет некоторый интервал, открытый или замкнутый ограниченный или ¥. Множество точек X принадлежащих множеству M будет образовывать на числовой оси некоторое множество. Это множество будет называться открытым, если вместе с любой точкой X из этого множества этому множеству M принадлежит некоторое ε окрестность X. Точка X Î M называется граничной точкой, если в любой e окрестности точки X можно указать точки, не принадлежащие множеству M. Множество М называется замкнутым, если дополнительное к нему множества является открытым R^\ M. Объединение любого числа отрытых множеств является открытым множеством, пересечение конечного числа множеств является открытым множеством. Следует, что пересечение любого числа замкнутых множеств являются замкнутым, объединение конечного числа замкнутых множеств являются замкнутыми. Пусть на множестве M определена функция. Это будем обозначать следующим образом: y = f(x), x Î M; x Î M . Величина x будет называться независимой переменной или аргументом y значение, которой зависит от x - называется зависимой переменной или функцией. Рассмотрим на координатной плоскости множество точек G = {(x; f(x)), x Î M}. Множество G – называется графиком функции. Пусть на множестве M определены две функции y = f(x); y = g(x), тогда функция h(x) значение, которой вычисляется по правилу h(x) = f(x) + g(x) – является суммой. Функция h(x) = f(x)g(x) называется произведением. Функция может быть задана различными способами: 1) Графический способ 2) Словесный или сательный 3) Аналитический. Пусть на множестве x определена функция y = f(x) со значениями во множестве Y предположим, что на множестве Y определена функция со значениями множествам X x = g(y). Пусть при этом выполнены условия x = g(f(x)), y = f(g(y)). Тогда функция x =g(y) – называется обратной функцией по отношению к функции y = f(x). Из определения следует, что функция y =f(x) так же является обратной функцией по отношению к функции x =g(y) по этому эти функции называются взаимно обратными. Примеры: 1) xÎ[0;¥] yÎ[0;¥] g(f(x)) =g f(g(y))= . 2) Пусть дана функция ; ; y = h(v) = h(g(u))®h(g(f(x))); y = f(x), x = g(y), y = f(g(y)), x = g(f(x)); g = lnx, , f(x) = lnx, , , 3) , , ; ,x = arctgy, tg(arctgy) = y, yÎ(-¥;¥), arctg (tgx) = x, . график функции y = f (x), график функции x = g(y), тогда . Таким образом графики двух взаимно обратных функций совпадают, т. к. обычно через x обозначают независимую переменную, а через y зависимую переменную, то удобнее обратную функцию x = g(y) записывать в виде y = g(x) это приведет к тому, что график функции y = g(x) будет симметричен графику функции x =g(y), относительно биссектрисы одного координатного угла.

27. Предел функции в точке. x = f(x), Xo ÎD(f) Xo – называется точкой сгущения, если в любой ее окрестности всегда можно указать точки из области определения функции y = f(x). Дальше всегда будем считать, что Xo точка сгущения. Число A называется пределом функции y =f(x), при , если для любой числовой последовательности Xn сходящейся к Xo, . Это определение эквивалентно следующему: A называется пределом функции f(x) при X ® Xo, если для любого числа e можно указать такое положительное число Δ, то из неравенства . Из свойств пределов следует: 1) 2) 3) 4) .

28. Асимптоты. Опр. Если точка (x; y) непрерывно перемещается по кривой y = f(x) так, что хотя бы одна из них координат точки стремится к бесконечности, и при этом расстояние точки от некоторой прямой стремится к нулю, то эта прямая называется асимптотой кривой. Если существует число a такое, что , то прямая x = a является вертикальной асимптотой. Если существуют пределы , то прямая будет асимптотой (правая наклонная или, в случае K1 = 0, правая горизонтальная асимптота). Если существуют пределы , то прямая - асимптота (левая наклонная или, в случае K2 = 0, левая горизонтальная асимптота). График функции y = f(x) (функция предполагается однозначной) не может иметь более одной правой или левой асимптоты.

30.

31) Вычисление предела .

Пусть X>0, угол измеренный в rad. AB=sinx, È AC=x, DC=tgx, очевидно, что AB<AC<ÈAC<DC, sinx<x<tgx, поделим обе части неравенства на sinx: , (1), , , , , , т.к. при , , то

, Þ , таким образом, sinx и х являются эквивалентны бесконечно малым величинам, из доказанного предела следует, что

32. Непрерывность функции в точке и на интервале. Примеры.

Пусть ф-я y=f(x), определена на некотором интервале (a;b), пусть , тогда ф-я y=f(x) называется непрерывной на интервале (a;b).

Если ф-я y=f(x) является непрерывной в каждой точке интервала (a;b), то она непрерывна на интервале (a;b) из свойств lim Þ что если ф-я y=f(x) и y=g(x), являются непрерывными в точке, и на интервале (a;b), то их сумма, произведение, частное и произведение f(x) на константу k, также непрерывны в этой точке.

- докажем непрерывность этой ф-ии в некотррой точке х₀:

, , ,

33. Свойства ф-ий, непрерывных на отрезке.

Теорема Больцано-Коши.

y=f(x), (a;b), x₀Î(a;b), для того чтобы ф-я y=f(x) была непрерывна в т. x₀, необходимо и достаточно, чтобы "e>0 $d(e)>0 , Þ

Первая теорема Больцано-Коши.

Пусть на отрезке определена непрерывная ф-я y=f(x), предположим, что в точках а и b эта ф-я принимает значения разных знаков, тогда найдётся т. с, такая, что f(c)=0.

Д-во.

Предположим для определённости, что f(b)>0. Пусьт , если f(c₁)=0, то f(a)<0, тем самым т., существование которой утверждается в теореме найдена. Если f(c)¹0, то на концах одного из отрезков (a;c₁) или (c₁;b), ф-я y=f(x) принимает значения разных знаков.

Обозначим отрезок и поступим с ним таким же образом, как и с отрезком , продолжим этот процесс до бесконечности. Возможны два случая:

а) на каком-нибудь конечном шаге найдётся точка с_n f(c_n)=0, тем самым будет найдена точка существования которой утверждается в теореме.

б) "c_n f(c_n)¹0, рассмотрим отр. , c_nÎ , f(a_n)<0, f(b_n)>0, l - длина , тогда длина = , образует монотонно возрастающую последовательность, а последовательность является ограниченной.

, , ,

поэтому , , f(c*)=0.

Вторая теорема Больцано-Коши.

Пусть на отрезке определена непрерывная ф-я y=f(x), f(a)=A, f(b)=B, A¹B, тогда ф-я y=f(x) принимает все промежуточные значения между А и В.

Д-во.

Предположим для определённости, что B>A, пусть С произвольное число расположенное между А и В, тогда A<C<B. Докажем, что найдётся т. сÎ , такая, что f(c)=C, для этого рассмотрим ф-ю j(x)=f(x)-C, тогда j(a)=f(a)-C=A-C<0, j(b)=f(b)-C=B-C>0 Þ y=j(x), на концах отрезка , принимает значения разных знаков. По первой теореме Больцано-Коши найдётся точка с, такая, что j(с)=0 Þ j(с)=f(c)-C=0 Þ f(c)=C

Первая теорема Веерштрасса (19в).

Пусть на отрезке определена непрерывная ф-я y=f(x), тогда эта ф-я является ограниченной на отрезке , $m, М,что , .

Предположим, что утверждение теоремы не верно, тогда можно указать , такую, что , т.к. является ограниченной, то из неё можно выбрать сходящуюся подпоследовательность , , , что противоречит тому, что ф-я y=f(x) определена на отрезке - теорема доказана.

Если отрезок не является замкнутым, то утверждение теоремы может быть не верной. (y=1/x, yÎ(0;1])

Вторая теорема Веерштрасса.

Пусть y=f(x), xÎ[a;b], тогда в некоторых точках отрезка [a;b] эта ф-я принимает наибольшее и наименьшее значения.

44. Инвариантность формы первого дифференциала.

Выражение f’(x)∆x представляет дифференциал d f(x), когда х рассматривается как аргумент. Если же сама величина х рассматривается как функция некоторого аргумента t, то выражение f’(x)∆x, как правило, не представляет дифференциала; исключение составляет лишь случай линейной зависимости x=at+b.

Напротив, формула df(x)=f’(x)dx верна как в том случае, когда x есть аргумент (тогда dx=∆x), так и в случае, когда x есть функция от t. Это свойство выражения f’(x)dx называется его инвариантностью. Например: Выражение 2x∆x представляет дифференциал функции y=x², когда х есть аргумент. Положим теперь x=t²(2) и будем считать t аргументом. Тогда y=x²=t⁴(3). Из (2) находим: ∆x=2t∆t+∆t². Значит, 2x∆x=2t²(2t∆t+∆t²). Это выражение не пропорционально ∆t и потому теперь 2x∆x не является дифференциалом. Дифференциал функции y находим из (3): dy=4t³∆t.

45. Теорема Ферма. Теорема Ролля, Лагранжа, Коши.

Теорема Ферма:

Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a, b], причём наибольшего и наименьшего значения она достигает во внутренней точке отрезка a<c<b. Если в этой точке существует производная, то она равна нулю.

Доказательство: Пусть в точке с достигается наибольшее значение f(x)£f(c), и xÎ[a, b]. Вычислим односторонние производные:

По условию теоремы в точке с существует производная f’(c). Это означает, что левосторонняя и правосторонняя производные равны, т.е. f’(c)=0

Теорема Ролля:

Пусть функция f(x), дифференцируема в замкнутом промежутке (a, b), обращается в нуль на концах промежутка. Тогда производная f’(x) по меньшей мере один раз обращается в нуль внутри промежутка.

Теорема Лагранжа:

Если функция f(x) дифференцируема в замкнутом промежутке (a, b), то отношение (f(b)-f(a))/(b-a) равно значению производной f’(x) в некоторой точке x=x, лежащей внутри промежутка (a, b):

Пример: Пусть f(x)=x². Тогда f’(x)=2x. Формула принимает вид (b²-a²)/(b-a)=2x, откуда x=(a+b)/2, т.е. x лежит в точности на середине промежутка (a, b).

Теорема Коши:

Пусть производные f’(t) и j’(t) двух функций f(t) и j(t), дифференцируемых в замкнутом промежутке (a, b), не обращаются одновременно в нуль нигде внутри этого промежутка. Пусть при этом одна из функций f(t), j(t) имеет неравные значения на концах интервала (например j(a)¹j(b)). Тогда приращения f(b)-f(a) и j(b)-j(a) данных функций относятся как их производные в некоторой точке t=t, лежащей внутри промежутка (a, b):

Пример: Рассмотрим функции f(t)=t³ и j(t)=t² в промежутке (0, 2). На конце t=0 производные f’(t)=3t² и j’(t)=2t обращаются в нуль, но внутри промежутка обе отличны от нуля. Каждая из функций f(t), j(t) имеет неравные значения на концах t=0 и t=2. Условия теоремы Коши выполнены. Значит, отношение

Должно равняться отношению

В некоторой точке t=x, лежащей между a=0 и b=2. Действительно, уравнение (3/2)t=2 имеет корень t=4/3, лежащий внутри промежутка (0,2).

46. Применение производных для исследования функций. Условия монотонности.

1. Область определения.

2. Особые свойства функции: чётность или нечётность, периодичность.

3. Корни, промежутки знакопостоянства.

Непрерывность, характер точек разрыва (односторонние пределы), пределы на бесконечности.

5. Асимптоты.

6. Производная, исследование функции на монотонность и экстремумы.

7. Вторая производная, исследование функции на выпуклость и перегиб.

Нахождение значения функции и ее производной в характерных точках (пересечения с осями координат, экстремума, перегиба), нахождение нескольких дополнительных точек графика (не обязательно, используется для построения более точного графика).

9. Построение эскиза графика.

Исследование дифференцируемой функции на максимум и минимум с помощью первой производной:

1) Ищем первую производную функции, т. е. f’(x)

2) Находим критические значения аргумента x; для этого:

а) приравниваем первую производную к нулю и находим действительные корни полученного уравнения f’(x)=0;

б) находим значение x, при которых производная f’(x) терпит разрыв.

3) Исследуем знак производной слева и справа от критической точки. Так как знак производной остается постоянным в интервале между двумя критическими точками, то для исследования знака производной слева и справа, например, от критической точки x₂ достаточно определить знак производной в точках a и b (x₁<a<x₂, x₂<b<x₃, где x₁и x₃ – ближайшие критические точки).

4) Вычисляем значение функции f(x) при каждом критическом значении аргумента.

Исследование функции на максимум и минимум с помощью второй производной:

1) Пусть при x=x₁ производная функции y=f(x) обращается в нуль, т.е. f’(x₁)=0. Пусть, кроме того, вторая производная f’’(x) существует и непрерывна в некоторой окрестности точки x₁. Тогда справедлива следующая теорема: Пусть f’(x₁)=0; тогда при x=x₁ функция имеет максимум, если f’’(x₁)<0, и минимум, если f’’(x₁)>0

Условие монотонности:

1) Последовательность (a_n) называется возрастающей (неубывающей), если "n<k, nÎN, kÎN a_n£a_k

2) Последовательность (a_n) называется убывающей (невозрастающей), если "n<k, nÎN, kÎN a_n³a_k

47. Понятие локального экстремума. Необходимое и достаточное условие существования экстремума.

Функция f(x) имеет максимум (минимум) в точке x=a, если значение f(a) больше (меньше) всех соседних значений. Максимум и минимум объединяются наименованием экстремум.

Необходимое условие максимума и минимума:

Если функция f(x) имеет экстремум в точке x=a, то в этой точке производная либо равна нулю, либо бесконечна, либо не существует.

Первое достаточное условие экстремума:

Если в достаточной близости от точки x=a производная f’(x) положительна слева от a и отрицательна справа от a, то в самой точке x=a функция f(x) имеет максимум при условии, что функция f(x) здесь непрерывна.

Второе достаточное условие экстремума:

Пусть в точке x=a первая производная f’(x) обращается в нуль; если при этом вторая производная f’’(a) отрицательна, то функция f(x) имеет в точке x=a максимум, если положительна, то – минимум.

48. Выпуклые функции. Условия выпуклости.

Кривая обращена выпуклостью вверх на интервале (a, b), если все точки кривой лежат ниже любой ее касательной на этом интервале. Кривая обращена выпуклостью вниз на интервале (b, c), если все точки кривой лежат выше любой ее касательной на этом интервале.

Теорема 1. Если во всех точках интервала (a, b) вторая производная функции f(x) отрицательна, т.е. f’’(x)<0, то кривая y=f(x) на этом интервале обращена выпуклостью вверх (кривая выпукла).

Теорема 1'. Если во всех точках интервала (b, c) вторая производная функции f(x) положительна, т.е. f’’(x)>0, то кривая y=f(x) на этом интервале обращена выпуклостью вниз (кривая вогнута).

Теорема 2. Пусть кривая определяется уравнением y=f(x). Если f’’(a)=0 или f’’(a) не существует и при переходе через значение x=a производная f’’(x) меняет знак, то точка кривой с абсциссой x=a есть точка перегиба.

49.Формула Тейлора. Формулы Тейлора для элементарных функций. Примеры.

Теорема: Если функция f(x) обладает в замкнутом промежутке (a, b) производными до (n+1)-го порядка включительно, то

где x - некоторое число, лежащее между a и b.

Последнее слагаемое в формуле, называемое остаточным членом в форме Лагранжа, дает точное выражение разности R_n между f(b) и выражением

(многочлен Тейлора):

Формула Тейлора устанавливает что уравнение, в котором за неизвестное принимается x, имеет, по меньшей мере, одно решение, лежащее между a и b.

Пример: Пусть f(x)=e^x. Все производные этой функции равны e^x. Нам известно значение e^x в точке х=0 (именно e⁰=1). Эту точку мы примем за начальную. В многочлене Тейлора надо положить: a=0, f(a)=f’(a)=…=f⁽ⁿ⁾(a)=1, и он принимает такой вид(5):

Заменив значение e^x значением многочлена (5), мы допустим некоторую ошибку R_n; она равна

Число x лежит где-то между нулём и x (оно зависит и от x и от n). Значит, e^xлежит между e⁰=1 и e^x. Этого достаточно, чтобы оценить ошибку.

34. Точка разрыва ф-ии. Односторонние пределы.

Пусть задана ф-я y=f(x), х₀ÎХ, для данной ф-ии можно определить односторонний предел.

Число А называют правосторонним пределом ф-ии y=f(x), если " числовой последовательности сходящейся к точке х₀ и такокй, что x_n>x₀. .

Аналогичным образом определяется левосторонний предел.

Нарушение условий непрерывности для ф-ии y=f(x), может происходить как в отдельных точках, так и в точках образующих одну или несколько линий.

35. Задачи приводящие к понятию производной. Производная ф-ии в точке. Геометрический смысл производной. У-ие касательной и нормали к графику ф-ий.

Пусть на отр. [a;b] определена ф-ия y=f(x), х₀Î(a;b), рассмотрим (1)

Пусть существует конечное значение lim (1), - это число называют производной ф-ии y=f(x), х=х₀.Обозначается (f’(x), , )

При изменении т. х₀ будет манятся значение предела, таким образом можно рассмотреть ф-ию ,

, поэтому , .

Уравнение касательной:

36. Дифференциал. Пусть на отрезке (a; b) определена функция y = f(x), которая имеет в точке Xo, Xo Î (a; b), тогда принадлежит функции Δf(Xo) = f(Xo + ΔX) – f(Xo) = f ’(Xo)ΔX + 0(ΔX) – 1). Из 1) следует, что принадлежит функции можно представить в виде суммы двух слагаемых. Первые из них являются линейные функции, относят ΔX, а второе является величиной ¥ < более высокого порядка, чем DX. Рассмотрим схему о возможности предоставления приделу произвольной функции. y = f(x) в виде суммы двух слагаемых. Одно из которых является линейным – относительно превращения независимой переменной, а другая является ¥ < более высокого порядка, т. е. f(Xo + DX) – f(Xo) = A + DX + 0(DX) - 2). Первое слагаемое A´ DX – называется главной линейной частью превращения. Опр. Главная линейная часть превращения называется дифференциалом и обозначается следующим образом dy, df(Xo). Разделим левую и правую часть 2) на DX и перейдем к пределу при DX ® 0. . - 3). Если для функции y = f(x) выполняется равенство 2), то существует , т. е. A = f ’(Xo). Главная линейная часть превращения функции имеет вид f ‘ (Xo)DX. Функция, для которой можно написать разложение 2) называется дифференцируемой. Из 3) следует, что если функция является дифференцируемой, то она имеет конечную производную. Верно и обратное утверждение, если функция y = f(x) имеет конечную производную, то она является дифференцируемой. Это следует из равенства 1). Для того, что бы функция была дифференцируемой необходимо и достаточно, чтобы она имела конечную производную. Обозначим превращение независимой переменой через dx = DX, тогда дифференциал функции можно записать в виде dy = d ´ f(x) = f(x)dx. В этом случае равенство 1) можно переписать в виде Df(Xo) = df(Xo) – 0(DX) – 4). Из 4) следует, что если функция y = f(x) является дифференцируемой в Xo, то она является непрерывной в этой точке.

37. Геометрический смысл дифференциала. Пусть задана функция g = f(x), проведем через точку с координатами (Xo; f(Xo)) касательную. Уравнение касательной имеет вид . Подставим вместо x значение Xo + DX, тогда получим . Дифференциал df(Xo) равен превращению ординаты касательной, при изменении x от Xo до DX + Xo.

38. Непрерывность. Предел функции. Число A называется пределом функции z = f(x; y) при стремлении точки к точке P(a,b), если для любого e > 0 существует такое d > 0, что при 0 < r < d, где - расстояние между точками P и P’, имеет место равенство . В этом случае пишут: . Непрерывность и точки разрыва. Функция z = f(x, y) называется непрерывной в точке P(a, b), если . Функция, непрерывная во всех точках некоторой области, называется непрерывной в этой области. Нарушение условий непрерывности для функции f(x, y) может происходить как в отдельных точках (изолированная точка разрыва), так и в точках, образующих одну или несколько линий (линий разрыва), а иногда и более сложные геометрические образы.

39. Правила вычисления производных.

	0

40. Производные от элементарных ф-ий.

а) f(x)=xⁿ,

б) f(x)=sinx,

в) y=a^x ,

43. Производные высших порядков. Пусть на отрезке (a; b) определена функция y = f(x). Предположим, что эта функция имеет производную на отрезке (a; b). В свою очередь f’(x) является функцией, от переменной величены x, поэтому можно рассмотреть задачу по вычислению производной от производной функции. Если эта производная существует, то ее называют второй производной и обозначим следующим образом: f “ (x) или . Аналогичным образом определим третью производную и т.д. Производная порядка n обозначим Т.к. (f(x) + g(x))’ = f’(x) +g’(x), то следует Аналогичным образом: