Фронт разрыва – возможный источник убывания энтропии

О приближенных реализациях

Метода Годунова

 

 

Москва, 2007 год

 

УДК 519.6

О приближенных реализациях метода Годунова

Прокопов Г.П.

Препринт Института прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН

 

    В целях экономии объема вычислений при реализации метода С.К.Годунова для расчета газодинамических течений используются приближенные алгоритмы. Если при этом исключается адиабата Пуассона, возможно привлечение таких конструкций, на которых энтропия может убывать. Вопрос об их допустимости является, по меньшей мере, дискуссионным.    

    Работа выполнена при поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований (грант № 05-01-00097).

 

On approximate realizations of Godunov method.

Prokopov G.P.

Preprint of Keldysh Institute of Applied Mathematics, RAS

 

To economize the computational costs of Godunov method realizations one uses approximate algorithms to calculate gas-dynamics flows. If Poisson adiabate is not considered in calculations, there is possibility entropy decrease. Admissibility of such solutions is under a discussion.

 

Содержание

                                                                                                           стр.

 

Введение …………………………………………………………... 3

§ 1. Об упрощенной схеме течения при распаде разрыва ……... 3 

§ 2. Фронт разрыва – возможный источник убывания энтропии. 7

§ 3. О единственности решения и выполнении уравнения

  состояния ……………………………………………………… 9

§ 4. Алгоритм приближенного расчета распада разрыва ………. 12

§ 5. Некоторые замечания о практической реализации

  приближенного расчета ……………………………………… 18

§ 6. Снова об энтропии …………………………………………… 23

§ 7. О сравнении результатов …………………………………….. 24

Заключение …………………………………………………….…. 26                                                                                                   

Литература ……………………………………………………….... 27                                                                                              

 

Введение

    Настоящая работа является непосредственным продолжением [1]. Продолжением в определенной степени вынужденным, поскольку в ее § 7 не были завершены исследования предложения по улучшению схемы С, опубликованной в [2]-[3]. При проведении этих исследований возникли некоторые новые результаты, которые по мнению автора заслуживают внимания и станут содержанием настоящей работы. Они касаются не только схемы С, но и вообще приближенных алгоритмов «типа метода Годунова», предлагаемых различными авторами. Описывается один из таких алгоритмов, не допускающий убывания энтропии.

        

§ 1. Об упрощенной схеме течения при распаде разрыва

 

    Для численного решения газодинамических задач широкое применение получил известный метод Годунова. Его первая развернутая публикация была дана в [4]. Затем популярности метода способствовала монография [5], в основном посвященная именно ему и его применению для решения разнообразных задач.

 

1.1. Основным структурным элементом метода и главной «массовой операцией» при его практической реализации является решение задачи о распаде разрыва с параметрами газа в соседних ячейках разностной сетки. Эта задача Римана настолько хорошо известна специалистам, что мы не будем сейчас описывать ее постановку.

    Как правило (например, при «сквозном» счете газодинамических течений), параметры в соседних ячейках достаточно близки между собой. Это, естественно, создает благоприятные условия для того, чтобы использовать упрощенные алгоритмы для решения обсуждаемой, хотя и элементарной, но достаточно громоздкой задачи. Но так бывает, во-первых, не всегда, а, во-вторых, далеко не все методы ее приближенного решения можно считать приемлемыми для расчета произвольных газодинамических задач.

    Как описано, например, в [5] на стр.106-107, в точной постановке при распаде произвольного разрыва образуется контактный разрыв и две волны, которые распространяются от него. Условно их называют правой и левой волной (условно потому, что в неподвижной системе координат они могут двигаться и в одну сторону). Каждая из волн может быть либо ударной, либо волной разрежения.

    В случае ударной волны речь идет о движущемся фронте разрыва, по обе стороны которого параметры газа полагаются постоянными (своими для каждой из сторон) и связаны определенными соотношениями.

    В случае волны разрежения ситуация иная: имеется область переменного течения, в которой параметры газа постоянны вдоль прямолинейных лучей, играющих роль характеристик системы дифференциальных газодинамических уравнений, а значения параметров зависят (определенным образом) от наклона в «веере характеристик», описывающем волну разрежения. Эта зона разрежения граничит с областями постоянного течения, аналогичными описанным выше для ударной волны.

    В качестве примера на фиг.1 изображена одна из таких возможных конфигураций с левой ударной волной и правой волной разрежения.

 

1.2. В методе, описанном в [2]-[3], который для краткости называется схемой С, используется более простой алгоритм для приближенного решения задачи Римана о распаде разрыва. Его принципиальное отличие состоит, прежде всего, в том, что переменное гладкое течение в зоне разрежения (если она присутствует в возникающем конкретном варианте распада разрыва) заменяется на разрывное течение с постоянными параметрами по обе стороны фронта разрыва.

    Таким образом, рассматривается упрощенная схема течения, включающая контактный разрыв и левый и правый фронты разрыва (называть их волнами было бы не всегда неправильно). В узле сетки с некоторым номером j такая схема изображена на фиг.2.

 

1.3. Обозначим индексами: 1 – параметры в левой ячейке сетки, 2 – в правой, 3 – между левым и контактным разрывом, 4 – между контактным разрывом и правым разрывом.

    Параметры газа  представляют соответственно: u – скорость, r - плотность, р – давление, e – внутреннюю энергию единицы массы газа. Последние три величины связаны так называемым уравнением состояния. В простейшем случае оно имеет вид, которым мы пока и ограничимся:

(1.1)              .

Здесь g - числовой параметр (показатель адиабаты).

 

 

 

 

Фиг. 1.

 

 

 

 

Фиг. 2.

 

Сразу же отметим, что скорость звука с, которая потребуется в дальнейшем, в этом случае определяется формулой:

(1.2)                               

Далее, как указано в [3] на стр.155, характерная особенность схемы С заключается в априорном задании двух параметров: массовых скоростей через поверхность левого и правого разрывов. Эти параметры, которые мы обозначим a₁,a₂ (предполагается, что a₁>0, a₂>0) назначаются по состоянию газа в соседних ячейках сетки, т.е. в зонах 1 и 2, с помощью некоторых конкретных формул. Временно (до § 2) отложим описание этих формул.

    Далее, исходя из отношений, которые должны быть выполнены на разрывах, выписываются формулы для «простых» (терминология [3]) переменных P,U:

(1.3)      ,     

               

Они задают давление Р и скорость U газа на контактном разрыве и в двух прилегающих к нему зонах 3 и 4.

    Затем, в силу тех же соотношений на разрывах, вычисляются другие параметры в зонах 3 и 4:

(1.4)               

                     

и скорости движения разрывов:

(1.5)      ,                     

    Назначение параметров на границах ячейки для вычисления векторов потока (в методе Годунова они назывались «большими» величинами) определяется значениями U, D₁, D₂. Соответствующие формулы мы опустим.

 

1.4. В [1] было проведено «энтропийное» исследование случая распада разрыва с симметричными данными. Для дальнейшего целесообразно исследовать с «энтропийной» точки и произвольный («асимметричный») случай распада разрыва. Оказалось, что такое исследование не так уж и громоздко.

    Введем в рассмотрение величины:

(1.6)      

       

Тогда формулы (1.3) можно записать в виде:

(1.7)       ,    

              ,    

Из формул (1.4) получаем:

(1.8)     

            

Энтропию S для уравнения состояния (1.1) определим формулой

(1.9)     

Для изменения энтропии на левом и правом фронтах разрывов получаем:

(1.10)  

          

Используя формулы (1.6)-(1.8), имеем:

(1.11) 

          

    Чтобы рассматриваемая упрощенная схема описывала реальное физическое течение, согласно постулату о неубывании энтропии должны быть одновременно выполнены два условия:

(1.12)  ,   .

 

Фронт разрыва – возможный источник убывания энтропии.

 

2.1. В качестве первого примера рассмотрим схему С. В [2] для нее предлагается задавать массовые скорости формулами:

(2.1)    

             ,

где с₁,с₂ - скорости звука, вычисляемые с помощью (1.2).

Если ввести величины

(2.2)     ,      ,

они записываются в виде (см. [1], с.8):

(2.3)    ,  ,

В случае  - «разбегающихся» потоков с точки зрения системы координат, движущейся со скоростью  , - будем иметь  и, следовательно,

(2.4)    ,  .

    В [1] было показано, что уже для частного случая распада разрыва с симметричными данными в некоторых ситуациях на разрывах может уменьшаться энтропия. Этого уже достаточно для тревоги относительно физической реализуемости, а, следовательно, достоверности получаемых результатов.

    Заметим, что формулы (2.4) предлагались как альтернативный вариант задания массовых скоростей в работе [3] наряду с (2.1). Поскольку в случае разбегающихся потоков они совпадают, примеры убывания энтропии годятся и для варианта (2.4).

    В случае  - «встречных» потоков – из (2.3) получаем

(2.5)    ,  .

    Исследование в [1] для симметричного распада разрыва показало, что эти формулы в случае встречных потоков обеспечивают возрастание энтропии, но только при дополнительном предположении .

2.2. В [1] предлагался вариант улучшения схемы С посредством введения дополнительных параметров, названный условно СП-схемой. Для «спасения» энтропии предлагалось массовые скорости задавать формулами, обобщающими (2.3):

         ,  ,  .

Параметры  предлагалось назначать некоторыми специальными формулами, полученными при рассмотрении симметричного варианта распада разрыва.

    Однако, нетрудно убедиться, что в случае асимметричного распада разрыва   обеспечить выполнение обоих условий (1.12) неубывания энтропии для произвольных значений параметров ,   невозможно.

    Проще всего это подтверждается в случае, если . Это позволяет сразу исключить роль . Получаем, как и в случае (2.4), , , и формулы (1.6) приобретают вид:

       ,     .

Если  , то  , .

    В соответствии с (1.11) рассмотрим функцию

(2.6)      .

Если величина а не зависит от параметра q, для ее производной получаем формулу:

             .

В точке q =0 будем иметь:

            ,          

Отсюда легко получается, что, по крайней мере, на слабом разрыве , если , а следовательно .

Если ограничиться случаем слабых разрывов, можно было бы воспользоваться приближенной формулой

                  

Тогда, в соответствии с формулой (2.6), получаем:

(2.7)        

                     .

Отсюда очевидно следует, что для достаточно слабого разрыва , если  и  или при любом  для . Возможны и другие ситуации, когда , если «положительного запаса» первого слагаемого недостаточно для «нейтрализации» отрицательного второго.

    Старательные оговорки автора в [1] на стр.22-23 о необходимости тщательной проверки «улучшенной» схемы в численном эксперименте, который может обнаружить скрытые недостатки СП-схемы, к сожалению, подтверждаются и без эксперимента.

 

2.3. Подводя итог изложенному, можно констатировать, что замена течения в области волны разрежения фронтом разрыва может приводить к тому, что на этом разрыве убывает энтропия. Такое течение следует считать физически нереальным. Подчеркнем, что это может происходить при сколь угодно близких значениях параметров в соседних ячейках.

    Автору представляется уместным следующее замечание. В словаре русского языка [6] на стр.1128 читаем: «Фикция – положение, построение, которому ничто не соответствует в действительности, но которым пользуются как допущением с какой-нибудь определенной целью».

    Именно такой фикцией может оказаться результат расчета распада разрыва при использовании упрощенной схемы течения.