Глава I. Основные понятия и теоремы

Метризуемость топологических пространств

 

Выполнила

студентка 5 курса

математического факультета

Побединская Татьяна Викторовна

_______________________________

(подпись)

 

Научный руководитель

к.ф.-м.н., доцент кафедры математического анализа и МПМ Варанкина Вера Ивановна

_______________________________

(подпись)

 

Рецензент

 

_______________________________

(подпись)

 

Допущена к защите в ГАК

 

Зав. кафедрой______________________________к.п.н., доцент Крутихина М.В.

                                       (подпись)

                                                                            «_____» _______________2004 г.

 

Декан факультета_________________________к.ф.-м.н., доцент Варанкина В.И.                                                                                   

                                       (подпись)

                                                                            «_____» _______________2004 г.

 

КИРОВ

2004

Содержание     

Введение. 3

Глава I. Основные понятия и теоремы.. 4

Глава II. Свойства метризуемых пространств. 10

Глава III. Примеры метризуемых и неметризуемых пространств. 21

Библиографический список. 24

 

 

Введение

Тема дипломной работы – «Метризуемость топологических пространств».

В первой главе работы вводятся основные определения, связанные с понятиями метрического и топологического пространств.

Во второй главе рассматриваются и доказываются следующие свойства метризуемых пространств:

1. Метризуемое  пространство хаусдорфово.

2. Метризуемое  пространство нормально.

3. В метризуемом пространстве  выполняется первая аксиома счетности.

4. Метризуемое пространство совершенно  нормально.

5. Для метризуемого пространства  следующие условия эквивалентны:

1)  сепарабельно,

2)  имеет счетную базу,

3)  финально компактно.

6. Любое метризуемое топологическое пространство может быть метризовано ограниченной метрикой.

7. Произведение счетного числа метризуемых пространств метризуемо.

В третьей главе рассматриваются примеры метризуемых и неметризуемых пространств.

     

Глава I. Основные понятия и теоремы

Определение. Метрическим пространством называется пара , состоящая из некоторого множества (пространства)  элементов (точек) и расстояния, то есть однозначной неотрицательной действительной функции , определенной для любых  и  из и удовлетворяющей трем условиям:

1)  (аксиома тождества);

2)  (аксиома симметрии);

3)  (аксиома треугольника).

 

Определение. Пусть – некоторое множество. Топологией в  называется любая система  его подмножеств , удовлетворяющая двум требованиям:

1. Само множество  и пустое множество принадлежат .

2. Объединение  любого (конечного или бесконечного) и пересечение  любого конечного числа множеств из  принадлежат .

Множество с заданной в нем топологией , то есть пара , называется топологическим пространством.

Множества, принадлежащие системе , называются открытыми.   

Множества , дополнительные к открытым, называются замкнутыми множествами топологического пространства .

 

Определение. Совокупность  открытых множеств топологического пространства называется базой топологического пространства , если всякое открытое множество в  может быть представлено как объединение некоторого числа множеств из .

Теорема 1. Всякая база  в топологическом пространстве обладает следующими двумя свойствами:

1) любая точка содержится хотя бы в одном ;

2) если  содержится в пересечении двух множеств  и  из , то существует такое , что .

Определение. Открытым шаром или окрестностью точки  радиуса  в метрическом пространстве  называется совокупность точек , удовлетворяющих условию . При этом  – центр шара,  – радиус шара.

 

Утверждение 1. Для любого , принадлежащего -окрестности точки , существует окрестность радиуса , включенная в -окрестность точки .

Доказательство. Выберем в качестве  : .

Достаточно доказать для произвольного  импликацию . Действительно, если , то

Получаем, что , что и требовалось доказать.

 

Теорема 2. Совокупность всех открытых шаров образуют базу некоторой топологии.

Доказательство. Проверим свойства базы (теорема 1).

· Свойство первое очевидно, так как для любого  выполняется  для любого .

· Проверим второе свойство.

Пусть ,  и , тогда, воспользовавшись утверждением 1, найдем такое , что  Теорема доказана.

Определение. Топологическое пространство  метризуемо, если существует такая метрика  на множестве , что порожденная этой метрикой топология совпадает с исходной топологией пространства .

 

Аксиомы отделимости

Аксиома .  Для любых двух различных точек топологического пространства окрестность хотя бы одной из них не содержит другую.     

Аксиома . Каждая из двух произвольных точек пространства имеет окрестность, не содержащую вторую точку.

 

Предложение.  является - пространством тогда и только тогда, когда для любого   множество  замкнуто.

Доказательство.

Необходимость. Пусть . Так как  является -пространством, то существует окрестность , не содержащая .

Рассмотрим

Докажем, что . Применим метод двойного включения:

· Очевидно, что  по построению множества .

· .

Пусть  отсюда для любого  отличного от  существует окрестность , значит , тогда .

Множество - открыто, как объединение открытых множеств.

Тогда множество - замкнуто, как дополнение открытого множества.

Достаточность. Рассмотрим . По условию замкнутые множества. Так как , то . Множество -открыто как дополнение замкнутого и не содержит . Аналогично доказывается существование окрестности точки , не содержащей точку

Что и требовалось доказать.

 

 Аксиома  (аксиома Хаусдорфа). Любые две точки пространства имеют непересекающиеся окрестности.

 

 Аксиома . Любая точка и не содержащее ее замкнутое множество имеют непересекающиеся окрестности.

 

Определение. Пространства, удовлетворяющие аксиомам  () называются -пространствами ( -пространства называют также хаусдорфовыми пространствами).

 

Определение. Пространство называется нормальным или -пространством, если оно удовлетворяет аксиоме , и всякие его два непустые непересекающиеся замкнутые множества имеют непересекающиеся окрестности.

 

Определение. Система окрестностей называется определяющей системой окрестностей точки , если для любой окрестности  точки  найдется окрестность из этой системы, содержащаяся в .

 

Определение. Если точка  топологического пространства имеет счетную определяющую систему окрестностей, то говорят, что в этой точке выполняется первая аксиома счетности. Если это верно для каждой точки пространства, то пространство называется пространством с первой аксиомой счетности.

Определение. Две метрики  и  на множестве  называются эквивалентными, если они порождают на нем одну и ту же топологию.

Пример. На плоскости  для точек  и  определим расстояние тремя различными способами:

1. ,

2. ,                                                               

3. .

· Введенные расстояния являются метриками. Проверим выполнимость аксиом метрики для введенных расстояний.

1. 1)

2) так как  и , то вторая аксиома очевидна:

3) рассмотрим точки , ,  и докажем следующее неравенство:

 

Возведем это неравенство в квадрат:

.

Так как  и  (поскольку ) и выражение  есть величина неотрицательная, то неравенство  является верным.

2. 1)

2) так как  и , то вторая аксиома очевидна: .

3) рассмотрим точки , ,  и докажем следующее неравенство: .

Тогда и .

3. 1)

2) так как  и , то вторая аксиома очевидна:

.

3) рассмотрим точки , , .

Неравенство:  - очевидно.                                    

· Введенные метрики  и  эквивалентны, то есть задают одну и ту же топологию.

Пусть метрика  порождает топологию , - топологию  и - топологию . Достаточно показать два равенства.

Покажем, что .

Рассмотрим множество,  открытое в  и покажем, что  открыто в . Возьмем некоторую точку и изобразим шар с центром в этой точке, который целиком лежит в . Шар в - квадрат, шар в - круг. А квадрат всегда можно заключить в круг. Тогда  открыто и в .

Аналогично доказывается, что . А тогда и .