Вычисление верхнего центрального показателя системы

 

По-прежнему рассматриваем систему (1):

 

.

 

Применительно к нашей системе семейство кусочно непрерывных и равномерно ограниченных функций P состоит из двух функций  и , то есть

 

P ,

 

где

Для вычисления верхнего центрального показателя  нам понадобится функция

 

 .

 

Докажем, что функция  является верхней для семейства P.

Доказательство:

По определению 1.7 ─ верхняя функция для семейства P, если

 .

 

Докажем, что .

 

.

 

Следовательно,

 

.

 

Докажем, что .

 

 

Следовательно,

 

,

 

то есть для любого  

 

Тогда по определению верхней функции

 

(P).

Вычислим .

По определению 1.6 верхнего среднего значения функции

 

 

Для всякого  найдется такое , что

 

 .

 

Тогда

 

.

 

Вычислим отдельно .

 

    

 

Итак,

 

.

 

Оценим сверху .

 

. (*)

 

Учитывая (*) и оценивая сверху, получаем

 

.

 

Тогда (при )

 

,

 

то есть .

Оценивая снизу, получаем

 

,

 

где .

Тогда

 

,

 

то есть .

Следовательно, .

Теперь изобразим функции , и  на графике.

 

График функции :

График функции :

 

 

Очевидно, что на отрезках ,

а на отрезках  для любого .

Теперь покажем, что верхний центральный показатель  совпадает с , то есть

 

 .

 

Докажем следующим образом:

1.Введем функцию .

Разобьем ось  на промежутки  точками  

Используя определение 1.12, положим

если

 

Оценим .

Возможны три случая:

1) если , то ; значит,

 

.

 

2) если , то ; значит,

 

.

 

2) если , то ; значит,

 

.

 

Таким образом, .

2.Докажем, что .

Очевидно, что ─ функция ограниченная и

 

.

Отсюда следует, что

 

,

 

то есть

 

,

 

Так как

 

,

 

то

 

.

 

3.Докажем, что  для любого .

По определению 1.6 вычислим , используя утверждение 1.2:

 

.

 

По определению 1.6 вычислим , используя утверждение 1.2:

 

.

 

Теперь рассмотрим все возможные случаи расположений отрезков  по отношению к отрезкам  и .

I. Если , где , то

 

,

 

следовательно,

 

;

 

II. если , где , то

 

,

 

следовательно,

 

;

III. если ,

то

 

;

 

IV. если ,

то

 

;

 

1) Для каждого  найдется такое , что выполняется

 

.

 

Тогда

 

;

 

2) Для каждого  найдется такое , что выполняется

 

 .

 

Тогда

 

.

 

Из вышеперечисленных случаев 1) и 2) следует, что

 

 , (**)

 

для любого  такого, что

 , .

 

Учитывая неравенство (**), перейдем к непосредственному доказательству неравенства :

 

.

 

Теперь оценим выражение .

Очевидно, выполняется следующее неравенство:

 

 .

 

Перейдем к пределам:

 

,

.

 

Следовательно,

 

.

 

Значит,

 

,

 

то есть для любого .

По определению 1.11

 

.

 

Таким образом,

 для любого .

По замечанию 1.4 получаем, что

 

.

 

Следовательно,

 

.

 

Так как мы доказали, что (P), то есть   - верхняя функция для семейства P, то, опираясь на определение 1.9, получаем, что

 

,

 

то есть

.

 

А значит,

 

.

 

Итак, в этом разделе был рассмотрен случай

 

.