Эллипс – это образ окружности при аффинном преобразовании. [1]
Рассмотрим ортогональное сжатие g к действительной оси.
Его задают условия: (28)
а обратное к нему аффинное преобразование g-1 имеет формулу: , где , откуда в силу (28) обратное преобразование имеет вид: (29)
При ортогональном сжатии окружность перейдёт в эллипс (рис. 5). Коэффициент рассматриваемого сжатия равен , тогда . и называются большой и малой осями эллипса при . Найдём уравнение этого эллипса. Для этого в уравнении окружности заменим z на правую часть (29), получим: , тогда . Преобразовав данное равенство, получим: , откуда получаем уравнение эллипса .
Рассмотрим две произвольные точки окружности N и N1. Точку N можно перевести в точку N1 поворотом h на некоторый угол вокруг точки О: , где , , .
|
|
Y
P N1
N
M
K M1
C O D X
Т
Q
Рис. 5
Пусть точки М и М1 – образы точек соответственно N и N1 при ортогональном сжатии g. Тогда точку М можем перевести в точку М1 следующим образом:
1) (преобразование, обратное ортогональному сжатию);
2) (поворот вокруг точки О на угол );
3) (ортогональное сжатие).
Тогда , где . Найдём формулу преобразования f.
1. Сначала найдём формулу преобразования : .
2. Найдём формулу для преобразования f: , откуда получаем - это формула эллиптического поворота.
Проверим, будет ли определитель рассматриваемого преобразования не равен нулю. Преобразуем выражение определителя
, используя равенство , тогда получим, что . Следовательно, определитель преобразования не равен нулю, и f является аффинным преобразованием, что и требовалось доказать.
Так как определитель рассматриваемого аффинного преобразования положителен, то эллиптический поворот – это аффинное преобразование первого рода.
|
|
Это преобразование имеет единственную неподвижную точку О, значит оно является центроаффинным. При этом преобразовании каждая точка М плоскости (М ≠ О) переходит в другую точку, которая принадлежит соответствующему эллипсу. Этот эллипс при рассмотренном преобразовании переходит сам в себя. Преобразование с объявленными свойствами называется эллиптическим поворотом.
Выясним, имеет ли эллиптический поворот инвариантные пучки параллельных прямых. Для этого найдём дискриминант характеристического уравнения этого преобразования. Комплексные координаты векторов при аффинном преобразовании (2) переходят в коллинеарные им векторы по формуле , откуда получаем уравнение . Решая его, получим характеристическое уравнение . Найдём (), его значение равно , тогда характеристическое уравнение запишется в виде: . Его дискриминант отрицателен (так как ). Следовательно, f – аффинное преобразование с единственной неподвижной точкой О и не имеющее инвариантных пучков параллельных прямых, то есть эллиптический поворот – эквицентроаффинное преобразование.
Формулу (29) эллиптического поворота можно записать в виде системы условий: Эту формулу можно представить иначе: , то есть эллиптический поворот является композицией сжатия к действительной оси и подобия первого рода с центром в точке О.
§4. Параболический поворот
Покажем, что параболу можно перевести в себя при преобразовании её с помощью композиции сдвига и параллельного переноса, не параллельного оси сдвига. Пусть М – произвольная точка параболы П с осью l (рис. 6), примем эту ось за действительную. Произведём сдвиг с этой же осью l: , где , . Этот сдвиг переведёт точку М в точку М1 и параболу П – в параболу П1. Параболы П и П1 равны с точностью до сдвига.
|
Рис. 6
Теперь произведём параллельный перенос параболы П1: (), где . Тем самым, парабола П 1 перейдёт в параболу П, а точка М1 перейдёт в точку М’ параболы П.
Таким образом получили, что парабола переходит в себя при преобразовании её с помощью композиции сдвига и параллельного переноса, не параллельного оси сдвига [1,3]. Это преобразование называется параболическим поворотом и имеет формулу , где , , (30)
Определитель найденного преобразования . Так как определитель отличен от нуля, параболический поворот является аффинным преобразованием, а так как он больше нуля, - аффинным преобразованием первого рода.
Найдём собственные числа параболического поворота аналогично тому, как делали это для других рассмотренных аффинных преобразований. Найдём собственные числа λ из условия . В процессе нахождения приходим к характеристическому уравнению , но так как , характеристическое уравнение примет вид , откуда . Следовательно параболический поворот имеет только один инвариантный пучок параллельных прямых, параллельных оси сдвига.