Линеаризация исходных уравнений

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Составление математической модели

 

Участок представляет собой объект с сосредоточенными параметрами. Баланс сил для данного участка

 

                           (4.1)

 

где  - масса жидкости в сосредоточенном объеме, кг;

 -скорость жидкости, м/с;

 - сила давления на входе и выходе, Н;

 - сила тяжести, Н;

 - угол наклона участка к горизонту;

 - сила трения, Н.

Сила давления на входе создается давлением в источнике и насосе. Перейдем от баланса сил к балансу давлений выражение (4.2) и найдем приращение (4.3), получаем

 

,                              (4.2)

где  - перепад давления на насосе и потери на трении.

 

,                      (4.3)

 

где L - суммарная длина прямых частей трубопровода на участке, м;

 - сечение трубопровода,

Для насоса зависимость может быть получена с помощью семейства расходных характеристик

 

.                                  (4.4)

Потери давления в трубопроводе определяется по уравнению

 

.                                          (4.5)

 

Зависимость между потерей давления в клапане , расходом  и проходным сечением  выражается такой формулой

 

,                                    (4.6)

 

 ,                                    (4.7)

 

где  - коэффициент расхода клапана;

 - коэффициент сопротивления клапана.

Исходная математическая модель участка представляет собой систему нелинейных уравнений:

 

                                  (4.8)

Линеаризация исходных уравнений

Значение  находим путем дифференцирования уравнения (4.3)

 

.               (4.9)

 

Частные производные определяются из соотношений:

 

.                (4.10)

 

 Тогда уравнение (4.9) можно упростить

 

        (4.11)

 

Изменение потерь на трение в трубопроводах находят дифференцирование уравнения (4.5)

 

.                                  (4.12)

 

Обозначив , получаем

 

.                                          (4.13)

 

Изменения перепада давления на возмущениях является следствие перемещения клапана. В соответствии с этим путем дифференцирования находим

 

. (4.14)

 

Введем обозначение ; , тогда получаем

 

.                               (4.15)

 

Обозначим , тогда получим линейную аналитическую модель участка расхода:

 

     (4.16)

 

Дифференциальное уравнение первого порядка, характеризующее в общем виде динамические свойства системы по расходу жидкости.

 

            (4.17)

 

При регулировании расхода путем дросселирования можно записать дифференциальное уравнение участка:

 

,         (4.18)

Разделив уравнение на выражение в скобках, получим:

                           (4.19)

где

                                      (4.20)

                                      (4.21)

 

Как следует из полученного уравнения, переходная функция представляет собой экспоненту с постоянной времени .

Из уравнения (4.19) можно непосредственно получить передаточную функцию (инерционное звено 1-го порядка)

 

,                   (4.22)