Метод аналитических таблиц

Выше мы указали, что существуют общезначимые формулы, которые оказываются истинными высказываниями при любой интерпретации предметных, предметно-функциональных и предикатных символов. А также отметили, что некоторые формулы логически следуют из других формул, т.е. одни формулы являются истинными, если истинны другие формулы.

Чтобы установить общезначимость формулы или логическое следование одной формулы из других, применяется метод аналитических таблиц.

Аналитической таблицей называется последовательность строк, состоящих из конечных списков формул, когда каждая последующая строка строится из предыдущей на основе правил редукции.

Список формул считается замкнутым, если он содержит формулу и ее отрицание.

Аналитическая таблица считается замкнутой, если каждый список формул в последней строке замкнут.

Проверка формулы A на общезначимость состоит в следующем. Строится аналитическая таблица, в которой в качестве первой строки записывается формула ù A. Если удается построить замкнутую таблицу, это значит, что формула ù A содержит в себе противоречие, поэтому ложна. Отсюда следует, что исходная формула A истинна независимо от значений своих предметных переменных, т.е. общезначима, что и требовалось доказать. Если таблицу не удается замкнуть, значит общезначимость формулы A не доказана.

По сути дела здесь применяется ход мысли, соответствующий доказательству от противного: тезис принимается истинным, если доказано, что противоречащий ему антитезис ложен[17].

Рассмотрим на примерах, как это делается. Допустим, нам необходимо проверить на общезначимость формулу (A ® B)→(ù A Ú B).

Строим первую строку аналитической таблицы в виде отрицания исходной формулы:

ù((A ® B)→(ù A Ú B)).

По общему виду полученная формула представляет отрицание импликации. Применяем правило замены отрицания импликации. Получаем вторую строку:

A ® B, ù(ù A Ú B).

Применяем к первой формуле правило замены импликации. Получаем третью строку, состоящую из двух списков формул, разделенных двойной вертикальной чертой:

ù A, ù(ù A Ú B) || B, ù(ù A Ú B).

Применяем к формуле ù(ù A Ú B) в обоих списках правило замены отрицания дизъюнкции. Получаем четвертую строку:

ù A, ù ù A, ù B || B, ù ù A, ù B.

Во втором списке строки обнаруживаем формулу B вместе с ее отрицанием ù B, они выделены жирным шрифтом. Это означает, что данный список замкнут. В дальнейшем замкнутые списки будем обозначать буквами N, N ₁, N ₂, и т.д. В первом списке к формуле ù ù A применяем правило замены отрицания отрицания. Получаем пятую строку:

ù A, A, ù B || N.

В этой строке обнаруживаем формулу A вместе с ее отрицанием ù A. Таким образом, этот список тоже замкнут. Шестая строка:

N ₁ || N.

Строка состоит из замкнутых списков, следовательно, аналитическая таблица замкнута. Тем самым установлена общезначимость формулы (A ® B)→(ù A Ú B).

Изобразим полученную аналитическую таблицу целиком, при этом будем указывать справа знак правила редукции и подчеркивать формулу, к которой оно применяется:

ù((A ® B )→(ù A Ú B )) [ù→]

A ® B, ù(ù A Ú B) [→]

ù A, ù(ù A Ú B ) || B, ù(ù A Ú B ) [ùÚ]

ù A, ù ù A, ù B) || B, ùù A,ù B [ù ù]

ù A, A, ù B) || N

N ₁ || N

Теперь проверим на общезначимость формулу с кванторами: " x (F (x)→ G (x))→$ x (F (x)→ G (x)).

Строим отрицание исходной формулы, чтобы получить первую строку аналитической таблицы: ù(" x (F (x)→ G (x))→$ x (F (x)→ G (x))). Далее будем строить таблицу сразу целиком.

ù(" x ( F ( x )→ G ( x ))→$ x ( F ( x )→ G ( x ))) [ù→]

" x (F (x)→ G (x))·ù$ x (F (x)→ G (x)) [·]

" x (F (x)→ G (x)), ù$ x (F (x)→ G (x)) [ù$]

" x (F (x)→ G (x)), ù$ x (F (x)→ G (x)), ù(F (a)→ G (a)) ["]

" x (F (x)→ G (x)), ù$ x (F (x)→ G (x)), ù(F (a)→ G (a)), F (a)→ G (a)

Получили замкнутую аналитическую таблицу. Следовательно, исходная формула " x (F (x)→ G (x))→$ x (F (x)→ G (x)) общезначима.

Проверим на общезначимость еще одну формулу: $ xF (x)→ F (a). Получаем формулу для первой строки аналитической таблицы: ù($ xF (x)→ F (a)). Строим строки таблицы.

ù($ xF (x)→ F (a)) [ù→]

$ xF (x), ù F (a) [$]

F (b), ù F (a)

Обратим внимание, что в последней строке формула $ xF (x) заменена на формулу F (b), т.е. использована предметная константа b, отличная от предметной константы в формуле ù F (a). Это соответствует примечанию в правиле замены квантора существования.

Последняя строка в таблице не является замкнутой, и в то же время не может быть далее преобразована по правилам редукции, так как отсутствуют формулы, подпадающие под эти правила. Это означает, что нельзя доказать общезначимость исходной формулы $ xF (x)→ F (a).

Содержательные соображения говорят в пользу того, что эта формула и не должна быть общезначимой. В самом деле, из того обстоятельства, что вообще существует предмет x со свойством F, отнюдь необязательно следует, что этим свойством должен обладать вот этот конкретный предмет a. Например, если вообще существуют люди, хорошо играющие в шахматы, то это еще не означает, что именно Петров должен хорошо играть в шахматы.

Теперь рассмотрим, как применяется метод аналитических таблиц для доказательства логического следования некоторой формулы B из формул A, A ₁, A ₂, A ₃…

Записывается первая строка, состоящая из формул A, A ₁, A ₂, A ₃… и отрицания B, т.е. ù B. Таким образом, имеем строку A, A ₁, A ₂, A ₃…, ù B. Далее применяются правила редукции. Если удается таблицу замкнуть, значит, среди формул первой строки присутствует ложная формула. Но формулы A, A ₁, A ₂, A ₃… по условию истинны, значит, ложной должна быть формула ù B, но это означает истинность формулы B. Следовательно, формула B логически следует из формул A, A ₁, A ₂, A ₃…, что и требовалось доказать.

Если таблицу замкнуть не удается, значит, логическое следование B из формул A, A ₁, A ₂, A ₃… не доказано.

Рассмотрим, есть ли отношение логического следования между формулами A → B, ù B и формулой ù A. То есть можно ли записать так: A → B, ù B Þ ù A? Здесь символ Þ означает логическое следование.

Определяем первую строку аналитической таблицы: A → B, ù B, ù ù A. Строим всю таблицу.

A → B, ù B, ù ù A [ù ù]

A → B, ù B, A [→]

ù A, ù B, A, || B, ù B, A,

N || N ₁

Получили замкнутую аналитическую таблицу, тем самым доказано, что формула ù A логически следует из формул A → B, ù B.

Проверим, следует ли логически формула $ xF (x) из формулы " xF (x), то есть можно ли записать так: " xF (x) Þ $ xF (x)?

Определяем первую строку: " xF (x), ù$ xF (x). Строим таблицу.

" xF ( x ), ù$ xF (x) ["]

" xF (x), F (a), ù$ xF ( x ) [ù$]

" xF (x), F (a), ù$ xF (x), ù F (a)

Последняя строка замкнута, значит, вся таблица замкнута. Логическое следование формулы $ xF (x) из " xF (x) доказано. Проверим теперь обратный вариант, то есть $ xF (x) Þ " xF (x).

Строим таблицу:

$ xF (x), ù" xF ( x ) [ù"]

$ xF ( x ), ù F (a) [$]

F (b), ù F (a)

Согласно примечанию в правиле замены квантора существования, предметная константа, подставляемая вместо переменной x, не должна совпадать с уже использованной константой в других формулах строки, поэтому мы поставили константу b, а не a в формуле $ xF (x). Итак, в последней строке получились формулы, которые не противоречат друг другу, то есть строка не замкнута, в то же время к этим формулам нельзя применить правила редукции. Поэтому таблица не может быть замкнута. Логическое следование формулы " xF (x) из формулы $ xF (x) не доказано.

Между прочим, таблица оказалась бы незамкнутой, даже если бы мы первым использовали правило замены квантора существования. Покажем это.

$ xF ( x ), ù" xF (x) [$]

F (a), ù" xF ( x ) [ù"]

F (a), ù F (b)

Содержательные соображения говорят в пользу того, что такого логического следования и не должно существовать. В самом деле, из того обстоятельства, что вообще существует предмет x со свойством F, отнюдь необязательно следует, что этим свойством должны обладать все предметы соответствующего универсума. Например, если вообще существуют люди, хорошо играющие в шахматы, то это еще не означает, что все люди должны хорошо играть в шахматы.

Рассмотрим более сложный случай. Проверим, имеется ли логическое следование между двумя высказываниями: «Каждый, кто молод и хорош собой, тот полон ожидания счастья и головокружительных успехов в жизни», «Данный человек не надеется на какие-либо успехи в жизни», и высказыванием «Неверно, что он молод и хорош собой».

Запишем все три высказывания в виде формул логики предикатов: " x ((F (x)· G (x)→ H (x)· F₁ (x)), ù F ₁(a), ù(F (a)· G (a)).

Запись логического следования между первыми двумя формулами и третьей формулой:

" x (F (x)· G (x)→ H (x)· F₁ (x)), ù F₁ (a) Þ ù(F (a)· G (a))

Строим аналитическую таблицу.

" x (F (x)· G (x)→ H (x)· F₁ (x)), ù F₁ (a), ù ù(F (a)· G (a)) [ù ù]

" x (F (x)· G (x)→ H (x)· F₁ (x)), ù F₁ (a)), F (a)· G (a) ["]

" x (F (x)· G (x)→ H (x)· F₁ (x)), F (a)· G (a)→ H (a)· F₁ (a), ù F₁ (a)), F (a)· G (a) [→]

" x (F (x)· G (x)→ H (x)· F₁ (x)), ù(F (a)· G (a)), ù F₁ (a)), F (a)· G (a) || " x (F (x)· G (x)→ H (x)· F₁ (x)), H (a)· F₁ (a), ù F₁ (a)), F (a)· G (a) [·]

N || " x (F (x)· G (x)→ H (x)· F₁ (x)), H (a), F₁ (a), ù F₁ (a), F (a)· G (a)

N || N ₁

Таблица замкнута, значит, формула ù(F (a)· G (a)) логически следует из формул " x (F (x)· G (x)→ H (x)· F₁ (x)) и ù F₁ (a). Или по-другому: из двух высказываний «Каждый, кто молод и хорош собой, тот полон ожидания счастья и головокружительных успехов в жизни» и «Данный человек не надеется на какие-либо успехи в жизни» логически следует третье высказывание «Неверно, что он молод и хорош собой». Кстати, это высказывание, согласно правило де Моргана можно заменить следующим: «Данный человек или не молод, или не хорош собой».

Докажем теперь, что из высказываний «Все млекопитающие смертны» и «Все люди − млекопитающие» логически следует высказывание «Все люди смертны». Мы, конечно, очень просто можем вывести третье высказывание из первых двух по правилам силлогизма, но нам важно посмотреть, как это будет выглядеть в логике предикатов.

Обозначим свойства «быть млекопитающим», «смертность», «быть человеком» предикатными константами F, G, H. Перепишем высказывания в виде формул логики предикатов: " x (F (x)→ G (x)), " x (H (x)→ F (x)), " x (H (x)→ G (x)).

Читается так: «Каждый индивид, если он млекопитающее, то он смертен», «Каждый индивид, если он человек, то он млекопитающее», «Каждый индивид, если он человек, то он смертен».

Нужно доказать, что если формулы " x (F (x)→ G (x)) и " x (H (x)→ F (x)) истинны, то формула " x (H (x)→ G (x)) является истинной, т.е. справедлива запись: " x (F (x)→ G (x)), " x (H (x)→ F (x)) Þ " x (H (x)→ G (x)).

Записываем первую строку аналитической таблицы: " x (F (x)→ G (x)), " x (H (x)→ F (x)), ù" x (H (x)→ G (x)). Строим всю таблицу.

" x (F (x)→ G (x)), " x (G (x)→ H (x)), ù" x ( F ( x )→ H ( x )) [ù"]

" x (F (x)→ G (x)), " x (G (x)→ H (x)), ù( F ( b )→ H ( b )) [ù→]

" x (F (x)→ G (x)), " x (G (x)→ H (x)), F (b), ù H (b) ["], ["]

" x (F (x)→ G (x)), " x (G (x)→ H (x)), F (b), ù H (b), F (b)→ G (b), G (b)→ H (b) [→]

" x (F (x)→ G (x))," x (G (x)→ H (x)), F (b),ù H (b), G (b)→ H (b),ù F (b)|| " x (F (x)→ G (x))," x (G (x)→ H (x)), F (b),ù H (b), G (b)→ H (b), G (b) [→]

N || " x (F (x)→ G (x))," x (G (x)→ H (x)), F (b),ù H (b),ù G (b), G (b)||" x (F (x)→ G (x))," x (G (x)→ H (x)), F (b),ù H (b), H (b), G (a)

N || N ₁ || N ₂

Получили замкнутую таблицу, значит, формула " x (H (x)→ G (x)) логически следует из формул " x (F (x)→ G (x)), " x (H (x)→ F (x)). Тем самым мы заодно проверили правильность силлогизма:

Все млекопитающие являются смертными.

Все люди являются млекопитающими.

Все люди являются смертными.

Рассмотрим теперь, следует ли логически высказывание «Некоторые из тех, кто ест апельсины, живут в жарких странах» из высказываний «Все обезьяны − едят апельсины» и «Все обезьяны живут в жарких странах».

Введем обозначения: «есть апельсины» − F, «жить в жарких странах» − G, «быть обезьяной» − H. Переписываем высказывания в виде формул логики предикатов: $ x (F (x)· G (x)), " x (H (x)® F (x)), " x (H (x)® G (x)). Читается: «Некоторые из индивидов являются теми, кто ест апельсины, и теми, кто живет в жарких странах», «Каждый индивид, если он обезьяна, то он ест апельсины», «Каждый индивид, если он обезьяна, то живет в жарких странах». Записываем логическое следование: " x (H (x)® F (x)), " x (H (x)® G (x)) Þ $ x (F (x)· G (x)).

Получаем первую строку таблицы, приписав к посылкам через запятую отрицание заключения. Далее работаем с таблицей. Чтобы избежать громоздкости, формулы, переносимые в нижнюю строку без изменений, будем подчеркивать двойной чертой, и в дальнейшем заменять символом W.

" x (H (x)® F (x)), " x (H (x)® G (x)), ù$ x (F (x)· G (x)) ["], [ù$]

" x (H (x)® F (x)), " x (H (x)® G (x)), H (a)® F (a), H (a)® G (a), ù$ x (F (x)· G (x)), ù(F (a)· G (a)) [ù·]

W, H (a)® F (a), H (a)® G (a), ù F (a) || W, H (a)® F (a), H (a)® G (a)), ù G (a) [→]

W, ù H (a), H (a)® G (a), ù F (a) || W, F (a), H (a)® G (a), ù F (a) || W, H (a)® F (a), H (a)® G (a)), ù G (a)

W, ù H (a), H (a)® G (a), ù F (a) || N || W, H (a)® F (a), H (a)® G (a), ù G (a) [→]

W, ù H (a), H (a)® G (a), ù F (a) || N || W, H (a)® F (a), ù H (a), ù G (a) || W, H (a)® F (a), G (a), ù G (a)

W, ù H (a), H (a)® G (a), ù F (a) || N || W, H (a)® F (a), ù H (a), ù G (a) || N ₁

Таблица не замыкается. Мы можем попробовать применить правило замены импликации к формулам H (a)® G (a) и H (a)® F (a). Но тогда получим четыре новых столбца с формулами ù H (a), G (a), ù H (a) и F (a) соответственно. Каждый столбец нам снова не удастся замкнуть.

Однако мы знаем, что из данных посылок можно построить силлогизм и получить требуемое заключение:

Все обезьяны живут в жарких странах. ® Все обезьяны едят апельсины. ® Некоторые из тех, кто едят апельсины, живут в жарких странах.

Все M есть P. Все M есть S. . Некоторые S есть P

Значит и на языке логики предикатов должно получиться логическое следование и таблица должна замкнуться. Можно предположить, что какой-то посылки у нас все же не хватает. Попробуем ее определить. Присмотримся к незамкнутым столбцам. В обоих присутствует формула ù H (a). Понятно, что если бы в этих столбцах оказалась также формула H (a), то они бы замкнулись. И логическое следование было бы доказано.

На основании правила введения квантора существования из списка общезначимых формул[18] мы можем от формулы H (a) перейти к формуле $ xH (x), означающей, что существуют индивиды, которые являются обезьянами.

Итак, чтобы высказывание «Некоторые из тех, кто ест апельсины, живут в жарких странах» логически следовало из высказываний «Все обезьяны − едят апельсины» и «Все обезьяны живут в жарких странах», мы должны добавить к ним третье высказывание «Существуют индивиды, которые являются обезьянами».

Почему же оказалось необходимым это добавление? Дело в том, что данные посылки мы переписали на язык логики предикатов с расширенным неопределенным универсумом, включающем индивиды вообще. Но это еще не означает, что среди них обязательно будут такие индивиды, как обезьяны. В наших посылках говорится лишь следующее: «Для всех индивидов, если они являются обезьянами, то они живут в жарких странах» и «Для всех индивидов, если они являются обезьянами, то они едят апельсины». Из них еще не вытекает утверждение об существование таких индивидов, как обезьяны.

Так же если кто-то рассуждает «Если в моем бумажнике найдется достаточная сумма денег, то я куплю эту вещь», это еще не означает, что в его бумажнике точно находится искомая сумма денег.

Но допустим, мы взяли такой универсум, в который входят исключительно обезьяны. В таком случае нам не нужно преобразовывать посылки «Все обезьяны − едят апельсины» и «Все обезьяны живут в жарких странах» в формулы вида " x (S (x)→ P (x)). Теперь посылки запишутся формулами " xF ₁(x) и " xG ₁(x), в которых предикатные символы F ₁ и G ₁означают соответственно «употреблять в пищу апельсины» и «жить в жарких странах». Эти формулы читаются: «Для всех обезьян верно, что они едят апельсины» и «Для всех обезьян верно, что они живут в жарких странах». Но в таком случае, строя соответствующую таблицу, легко показать, что из таких посылок логически следует высказывание ««Некоторые из тех, кто ест апельсины, живут в жарких странах», формулой которого будет выражение $ x (F ₁(x)· G ₁(x)). И это очевидно, так как под «теми» теперь понимаются исключительно обезьяны.

Построим все же таблицу.

" xF ₁(x), " xG ₁(x), ù$ x (F ₁(x)· G ₁(x)) ["],["], [ù$]

" xF ₁(x), " xG ₁(x), ù$ x (F ₁(x)· G ₁(x)), F ₁(a), G ₁(a), ù(F ₁(a)· G ₁(a)) [ù·]

W, F ₁(a), G ₁(a), ù F ₁(a) || W, F ₁(a), G ₁(a), ù G ₁(a)

N || N ₁

Таблица замкнулась.

Силлогизм про обезьян также получается потому, что посылки «Все обезьяны − едят апельсины» и «Все обезьяны живут в жарких странах» являются общеутвердительными суждениями и подразумевают без всяких «если», что объем понятия «обезьяна» не является пустым. Напомним, что суждение в силлогистике выражает отношение между понятием-субъектом и понятием-предикатом, и ясно, что отношения (равнозначность, пересечение и т.п.) могут быть только между понятиями с ненулевыми объемами.

Сформулируем общее правило. Если мы имеем дело с расширенным неопределенным универсумом, и хотим показать, что из посылок логически следует высказывание с квантором существования, то среди этих посылок должно быть высказывание с квантором существования[19].

Попробуем сначала снова показать, что не получается логическое следование высказывания с квантором существования из высказываний лишь с кванторами общности.

Пусть посылками будут высказывания «Все муравьи есть насекомые», «Все насекомые − живые существа». Заключение: «Некоторые живые существа − муравьи». Введем обозначение предикатных символов: F − «быть муравьем», G − «быть насекомым», H − «быть живым существом». Пишем формулы: " x (F (x)® G (x)), " x (G (x)® H (x)), $ x (H (x)· F (x)). Записываем логическое следование: " x (F (x)® G (x)), " x (G (x)® H (x)) Þ $ x (H (x)· F (x)). Строим таблицу.

" x (F (x)® G (x)), " x (G (x)® H (x)), ù$ x (H (x)· F (x)) ["],["],[ù$]

" x (F (x)® G (x)), " x (G (x)® H (x)), ù$ x (H (x)· F (x)), F (a)® G (a), G (a)® H (a), ù(H (a)· F (a)) [ù·]

W, F (a)® G (a), G (a)® H (a), ù H (a) || W, F (a)® G (a), G (a)® H (a), ù F (a) [→], [→]

W, F (a)® G (a), ù G (a), ù H (a) || W, F (a)® G (a), H (a), ù H (a) || W, ù F (a), G (a)® H (a), ù F (a) || W, G (a), G (a)® H (a), ù F (a)

W, F (a)® G (a), ù G (a), ù H (a) || N || W, ù F (a), G (a)® H (a), ù F (a) || W, G (a), G (a)® H (a), ù F (a) [→],[→]

W, ù F (a), ù G (a), ù H (a) || W, G (a), ù G (a), ù H (a) || N || W, ù F (a), G (a)® H (a), ù F (a) || W, G (a), ù G (a), ù F (a) || W, G (a), H (a), ù F (a)

W, ù F (a), ù G (a), ù H (a) || N ₁ || N || W, ù F (a), G (a)® H (a), ù F (a) || N ₂ || W, G (a), H (a), ù F (a)

Получили три столбца, которые невозможно замкнуть. В каждом присутствует формула ù F (a). Это означает, что для того, чтобы замкнуть эти столбцы, необходимо присутствие в столбцах формулы F (a). Ей соответствует в качестве дополнительной посылки формула $ xF (x), или высказывание «Существуют индивиды, которые являются муравьями». Только добавление этой посылки к остальным двум обеспечит логическое следование из них высказывания «Некоторые живые существа − муравьи».

Теперь пусть среди посылок будет высказывание с квантором существования: «Некоторые из живущих в Африке являются насекомыми», «Все насекомые − живые существа». Заключение: «Некоторые живые существа живут в Африке». Введем обозначение предикатных символов: F − «живущие в Африке», G − «быть насекомым», H − «быть живым существом». Пишем формулы: $ x (F (x)· G (x)), " x (G (x)® H (x)), $ x (H (x)· F (x)). Записываем логическое следование: $ x (F (x)· G (x)), " x (G (x)® H (x)) Þ $ x (H (x)· F (x)). Строим таблицу.

$ x (F (x)· G (x)), " x (G (x)® H (x)), ù$ x (H (x)· F (x)) [$]

F (a)· G (a), " x (G (x)® H (x)), ù$ x (H (x)· F (x)) ["],[ù$],[·]

F (a), G (a), " x (G (x)® H (x)), ù$ x (H (x)· F (x)), G (a)® H (a), ù(H (a)· F (a)) [ù·]

F (a), G (a), W, G (a)® H (a), ù H (a) || F (a), G (a), W, G (a)® H (a), ù F (a)

F (a), G (a), W, G (a)® H (a), ù H (a) || N

F (a), G (a), W, ù G (a), ù H (a) || F (a), G (a), W, H (a), ù H (a) || N

N ₁ || N ₂ || N

Получили замкнутую таблицу. Тем самым мы доказали, что высказывание «Некоторые живые существа живут в Африке» логически следует из высказываний «Некоторые из живущих в Африке являются насекомыми» и «Все насекомые − живые существа».

Рассмотрим еще два примера. Проверим, следует ли логически высказывание «Марс − необитаем» из высказываний «Марс − планета Солнечной системы», «Земля является обитаемой планетой Солнечной системы».

Вводим обозначения. «Марс» − предметная константа a, «Земля» − предметная константа − b, «быть обитаемой» − предикатный символ F, «быть планетой» − предикатный символ G, «принадлежать Солнечной системе» − предикатный символ H. Высказывания и их формулы: «Марс − необитаем», ù F (a); «Марс − планета Солнечной системы», G (a)· H (a); «Земля является обитаемой планетой Солнечной системы», F (b)· G (b)· H (b).

Записываем логическое следование: G (a)· H (a), F (b)· G (b)· H (b) Þ ù F (a)

Строим первую строку и всю таблицу.

G (a)· H (a), F (b)· G (b)· H (b), ù ù F (a) [ù ù]

G (a)· H (a), F (b)· G (b)· H (b), F (a) [·],[·]

G (a), H (a), F (b), G (b), H (b), F (a)

В последней строке получился ряд формул, которые не противоречат друг другу, таблица не замыкается. Логического следования нет. Конечно, можно было бы ввести дополнительные посылки, чтобы получилось логическое следование, например, ввести посылку ù F (a) или ù G (a) и т.д. Но все они будут противоречить имеющимся посылкам или совпадать с заключением.

Теперь пусть обозначения будут те же, но введем дополнительный предикат «быть тождественным» − F ₁. Формулы высказываний «Марс − необитаем» и «Марс − планета Солнечной системы» те же: ù F (a) и G (a)· H (a). И изменим несколько третье высказывание: «Лишь Земля является обитаемой планетой Солнечной системы», его формула: F (b)· G (b)· H (b)·" x (G (x)· H (x)·ù F ₁(x, b)®ù F (x)).

Строим первую строку и таблицу.

G (a)· H (a), F (b)· G (b)· H (b)·" x (G (x)· H (x)·ù F ₁(x, b)®ù F (x)), ù ù F (a) [ù ù]

G (a)· H (a), F (b)· G (b)· H (b)·" x (G (x)· H (x)·ù F ₁(x, b)®ù F (x)), F (a) [·],[·]

G (a), H (a), F (b), G (b), H (b), " x (G (x)· H (x)·ù F ₁(x, b)®ù F (x)), F (a) ["]

G (a), H (a), F (b), G (b), H (b), " x (G (x)· H (x)·ù F ₁(x, b)®ù F (x)), G (a)· H (a)·ù F ₁(a, b)®ù F (a), F (a) [→]

G (a), H (a), F (b), G (b), H (b), W, ù(G (a)· H (a)·ù F ₁(a, b)), F (a) || G (a), H (a), F (b), G (b), H (b), W, ù F (a), F (a)

G (a), H (a), F (b), G (b), H (b), W, ù(G (a)· H (a)·ù F ₁(a, b)), F (a) || N [ù·]

G (a), H (a), F (b), G (b), H (b), W, ù G (a), F (a) || N || G (a), H (a), F (b), G (b), H (b), W, ù H (a), F (a) || G (a), H (a), F (b), G (b), H (b), W, ù ù F ₁(a, b), F (a) [ù ù]

N ₁ || N || N ₂ || G (a), H (a), F (b), G (b), H (b), W, F ₁(a, b), F (a)

Получили незамкнутую таблицу. Вроде бы ситуация та же, что и предыдущая. Однако в последнем незамкнутом столбце есть формула F ₁(a, b), которая отличается тем, что ее отрицание, т.е. формула ù F ₁(a, b), не входит в противоречие ни с посылками, ни с заключением и в то же время ее присутствие в последнем незамкнутом столбце позволило бы замкнуть таблицу. Содержательно эта формула означает, что планета Марс и планета Земля не тождественны. Итак, получается, что помещение этой формулы среди посылок в качестве необходимого уточнения обеспечивает логическое следование высказывания «Марс − необитаем».

Задание 10. Проверьте методом аналитических таблиц на общезначимость формулы:

a) ù" xF (x)®$ x ù F (x);

b) $ x ù F (x)®ù" xF (x);

c) " x (F (x)·$ yG (y))®ù$ x ù(F (x)·$ yG (y));

d) ù$ x ù(F (x)·$ yG (y))®" x (F (x)·$ yG (y)).

Задание 11. Проверьте методом аналитических таблиц наличие логического следования первого высказывания из остальных. Если следования нет, то выясните, каким высказыванием необходимо дополнить посылки, чтобы получить логическое следование:

a) «Ни один кит не является рыбой» из «Все киты являются млекопитающими» и «Ни одна рыба не является млекопитающей»;

b) «Некоторые киты не являются рыбами» из «Все киты являются млекопитающими» и «Ни одна рыба не является млекопитающей»;

c) «Некоторые люди являются студентами» из «Все спортсмены являются людьми» и «Некоторые студенты являются спортсменами»;

d) «Если часы Петрова остановились, то у них кончился завод» из «Если часы остановились, то кончился их завод или они неисправны», «Часы Петрова исправны»;

e) «Некоторые слоны обитают в стране волшебных сказок» из «Некоторые слоны обитают в Индии», «Индия − страна жаркого солнца и волшебных сказок».

Решения заданий

Задание 1. Четность (6), Больше (7, 4), Расти в (пальма, Африка), Сын (Иван Петрович, Петр, Мария).

Задание 2. Четность (x), x − число, формула одноместная. Больше (x, y), x и y − числа, формула двухместная. Расти в (x, y), x − растение, y − место, формула двухместная. Сын (x, y, z), x, y, z − люди, формула трехместная. Преобразования, например: Четность (7) − нуль-местная формула; Больше (5, y) − одноместная формула; Расти(x, Подмосковье) − одноместная формула; Сын (Иван Петрович, Петр, z) − одноместная формула.

Задание 3. Четность (7) − ложное высказывание, Четность (2) − истинное высказывание. Больше (2, 1) − истинное высказывание, Больше (1, 2) − ложное высказывание. Расти в (ель, Сибирь) − истинное высказывание, Расти в (ель, Сахара) − ложное высказывание. Сын (Иван Михайлович, Николай, Анастасия) − ложное высказывание, Сын (Иван Николаевич, Николай, Анастасия) − истинное высказывание.

Задание 4. " x Четность(x) − ложное высказывание, $ x Четность(x) − истинное высказывание. " x " y Больше(x, y) − ложное высказывание. " x $ y Больше(x, y) − истинное высказывание. $ x " y Больше(x, y) − ложное высказывание, возможна ситуация, когда x = y. $ x $ y Больше(x, y) − истинное высказывание. " x " y Расти в(x, y) − ложное высказывание. " x $ y Расти в(x, y) − истинное высказывание. $ x " y Расти в(x, y) − ложное высказывание. $ x $ y Расти в(x, y) − истинное высказывание. " x " y " zСын (x, y, z) − ложное высказывание. $ x " y " zСын (x, y, z) − ложное высказывание. $ x $ y $ zСын (x, y, z) − истинное высказывание.

Задание 5. Аромат(дыня), половина(метр), расстояние между(Киев, Москва), выигранная партия(шахматы, мировой чемпионат, Алешин).

Задание 6. Аромат(x), x − плод, формула одноместная; половина(x), x − единица длины, объема, веса и т.п., формула одноместная. Расстояние между(x, y), x и y − населенные пункты, формула двухместная. Выигранная партия(x, y, z), x − вид игры, y − уровень состязания, z − участник состязания, формула трехместная. Преобразования, например: аромат(ананаса) − нуль-местная формула; половина(килограмм) − нуль-местная формула; расстояние между(Нью-Йорк, y) − одноместная формула; выигранная партия(лото, семейный вечер, z) − одноместная формула.

Задание 7. Аромат(свежий арбуз) − общее имя, половина(дюйм) − общее имя, расстояние между(Вологда, Кострома) − собственное имя, выигранная партия(шашки, школьный турнир, Петров) − общее имя.

Задание 8. Высказывания, соответствующие формулам F (c, a), $ xF (x, a), " xG (x), G (a ₁), " x (G (x)Ú F (x, b ₁)) при интерпретации A:

1. «Среда непосредственно следует за понедельником» (ложь);

2. «Существует день недели, который непосредственно следует за понедельником» (истина).

3. «Каждый день недели является выходным» (ложь).

4. «Понедельник − выходной день» (ложь).

5. «Для всякого дня недели верно, что он или выходной, или непосредственно следует за пятницей» (ложь).

Высказывания, соответствующие этим же формулам при интерпретации B:

1. «Тверь расположена севернее Москвы» (истина).

2. «Существует российский город, который севернее Москвы» (ложь)[20].

3. «Каждый российский город является столицей России» (ложь).

4. «Москва − столица России» (истина).

5. «Для всякого российского города верно, что он или столица России, или севернее Астрахани» (истина).

Сохраняет истинностное значение при обеих интерпретациях формула " xG (x), остальные формулы меняют истинностное значение.

Задание 9.

a) Вводим обозначения предикатов: «быть акулой» − F, «дышать жабрами» − G. Квантор общности, высказывание утвердительное, соответствует первой строке таблицы.

Формула: " x (F (x)® G (x)). Читается: «Для любого индивида верно, что если он акула, то он дышит жабрами».

b) Обозначения: предикаты «быть акулой» − F, «быть безжалостным» − G, «быть охотником» − H. Квантор общности, высказывание утвердительное, соответствует первой строке таблицы.

Формула: " x (F (x)® H (x)· G (x)). Читается: «Для любого индивида верно, что если он акула, то он является охотником, причем безжалостным».

с) Предикаты: «быть акулой» − F, «нападать на» − G, «быть человеком» − H. Здесь должно быть две переменных, так как предикат «нападать на» двухместный, при переменной, относящейся к акулам − квантор существования, при переменной, относящейся к людям − квантор общности (так как акулы, если нападают, то, скорее всего, на всех людей). Основным квантором является квантор существования, высказывание утвердительное, поэтому формула в целом должна соответствовать третьей строке таблицы. Но часть формулы, которая подпадает под квантор общности, соответствует первой строке таблицы. Формула: $ x (F (x)·" y (H (y)® G (x, y))).

Читается: «Существуют индивиды, которые являются акулами, и для всякого индивида верно, что если он является человеком, то первые индивиды нападают на вторых индивидов».

d) Вводим обозначения. Предикат «загарпунили» обозначим символом F, он объединяет два предмета, которым соответствуют сложные общие имена «с острова Суматра(рыбаки)» и «большая(белая(акула))». Обозначим выражения «с острова Суматра(...)», «большая(...), «белая(...)» функционально-предметными константами f, g и h.

Предикат «быть рыбаком» обозначим символом G, предикат «быть акулой» − символом H.

Формула: $ x (G (x)·$ y (H (y)· F (f (x), g (h (y))))). В обоих случаях читается: «Существуют индивиды, которые являются рыбаками, и существуют индивиды, которые являются акулами, и первые индивиды с острова Суматра загарпунили большого белого второго индивида».

Задание 10.

a) Записываем отрицание формулы: ù(ù" xF (x)®$ x ù F (x)). Строим аналитическую таблицу.

ù(ù" xF (x)®$ x ù F (x)) [ù→]

ù" xF ( x ), ù$ x ù F (x)[ù"]

ù F (b), ù$ x ù F (x) [ù$]

ù F (b), ù$ x ù F (x), ù ù F (b) [ù ù]

ù F (b), ù$ x ù F (x), F (b)

Таблица оказалась замкнутой, значит, формула ù" xF (x)®$ x ù F (x) является общезначимой.

Может возникнуть вопрос, почему сначала использовалось правило [ù"], затем правило [ù$], а не наоборот. Дело в том, что, согласно первому правилу, константа, подставляемая вместо переменной, не может быть произвольной, а согласно второму правилу, константа может быть произвольной, в том числе и такой, какую мы ранее подставили вместо переменной. Если бы правила использовалось в обратном порядке, то пришлось бы подставлять разные константы, и таблицу замкнуть бы не удалось.

b) Записываем отрицание формулы: ù($ x ù F (x)®ù" xF (x)). Строим аналитическую таблицу.

ù($ x ù F ( x )®ù" xF ( x )) [ù→]

$ x ù F (x), ù ù" xF (x) [ù ù]

$ x ù F (x), " xF (x) [$]

ù F (b), " xF (x) ["]

ù F (b), " xF (x), F (b)

Таблица оказалась замкнутой, значит, формула $ x ù F (x)®ù" xF (x)является общезначимой. Здесь применялось сначала правило [$], а затем ["] из тех же соображений, что и в предыдущей задаче.

c) Записываем отрицание формулы: ù(" x (F (x)Ú$ yG (y))®ù$ x ù(F (x)Ú$ yG (y))). Строим таблицу.

ù(" x (F (x)·$ yG (y))®ù$ x ù(F (x)·$ yG (y))) [ù→]

" x (F (x)·$ yG (y)), ù ù$ x ù(F (x)·$ yG (y)) [ù ù]

" x (F (x)·$ yG (y)), $ x ù(F (x)·$ yG (y)) [$]

" x (F (x)·$ yG (y)), ù(F (b)·$ yG (y)) [ù·]

" x (F (x)·$ yG (y)), ù F (b) || " x (F (x)·$ yG (y)), ù$ yG (y) ["]

F (b)·$ yG (y), ù F (b) || F (a)·$ yG (y), ù$ yG (y) [·]

F (b), $ yG (y), ù F (b) || F (a), $ yG (y), ù$ yG (y) [$]

N || F (a), G (c), ù$ yG (y) [ù$]

N || F (a), G (c), ù G (с)

N || N ₁

Таблица замкнулась, формула " x (F (x)Ú$ yG (y))®ù$ x ù(F (x)Ú$ yG (y)) − общезначима.

d) Записываем отрицание формулы: ù(ù$ x ù(F (x)·$ yG (y))®" x (F (x)·$ yG (y))). Строим таблицу.

ù(ù$ x ù(F (x)·$ yG (y))®" x (F (x)·$ yG (y))) [ù→]

ù$ x ù(F (x)·$ yG (y)), ù" x (F (x)·$ yG (y)) [ù"]

ù$ x ù(F (x)·$ yG (y)), ù F (b)·$ yG (y)) [ù$]

ù$ x ù(F (x)·$ yG (y)), ù ù(F (b)·$ yG (y)), ù F (b)·$ yG (y) [ù ù]

ù$ x ù(F (x)·$ yG (y)), F (b)·$ yG (y), ù F (b)·$ yG (y) [·], [·]

ù$ x ù(F (x)·$ yG (y)), F (b), $ yG (y), ù F (b), $ yG (y)

Таблица замкнулась, формула ù$ x ù(F (x)·$ yG (y))®" x (F (x)·$ yG (y)) является общезначимой.

Задание 11.

a) Вводим обозначения. «Быть китом» − F, «быть рыбой» − G, «быть млекопитающим» − H. Записываем высказывания в виде формул логики предикатов. «Ни один кит не является рыбой» − " x (F (x)®ù G (x)), «Все киты являются млекопитающими» − " x (F (x)® H (x)), «Ни одна рыба не является млекопитающей» − " x (G (x)®ù H (x)). Записываем логическое следование: " x (F (x)® H (x)), " x (G (x)®ù H (x)) Þ " x (F (x)®ù G (x)). Составляем таблицу.