Выражения, устанавливающие связь между перемещениями пластины и значениями изгибающими моментами

Прямоугольная пластина. Основные обозначения. Расчётная схема

 

Рассмотрим пластину постоянной толщины h, опертую на жесткий прямоугольный контур, у которого один в плане значительно больше другого (рис.1).

 

 

Пусть эта пластина загружена равномерно распределенной нагрузкой, величина которой, приходящаяся на единицу площади, есть р (Мы ограничиваемся рассмотрением случая, когда р = const, хотя излагаемая ниже теория справедлива и при р = р (z)). Очевидно, что такая пластина в своей средней части, ограниченной сечениями аb и сd, будет изгибаться по цилиндрической поверхности. Иными словами, пластина в средней части не будет иметь кривизны в плоскости хоу.

В связи с этим изгиб рассматриваемой пластины будет характеризоваться изгибом любой балки-полоски, мысленно выделенной из пластины, как показано на рис.1.

Пластинами называются упругие тела, имеющие форму призмы, расстояние между основаниями которой мало по сравнению с размерами оснований.

Геометрическое место точек, равноудаленных от оснований, образует срединную поверхность пластины. Длина отрезка перпендикуляра, восставленного к срединной поверхности между основаниями, называется толщиной пластины.

При исследовании изгиба прямоугольных пластин будем пользоваться декартовой системой координат. Плоскость хоу совместим со срединной плоскостью пластины, а ось оz направим вниз.

Размеры пластин в направлении осей ох и оу обозначим буквами а и b соответственно, а толщину пластины - буквой h (рис.2).

 

Рис.2

Исходные данные

 

№ п/п	Размер пластины (a), м	Размер пластины (b), м	Модуль упругости материала Е ·103МПа	Толщина пластины (h), м
19	1.90	1,30	210	0.020

 

Дифференциальное уравнение изгиба абсолютно жестких пластин.

 

 (1)

 

Уравнение (1) представляет дифференциальное уравнение в частных производных с постоянными коэффициентами.

Интегрирование таких уравнений будем производить методом разделения переменных, используя для этой цели тригонометрические функции.

Выражения, устанавливающие связь между перемещениями пластины и значениями изгибающими моментами.

 (2)

 

где  - цилиндрическая жесткость пластины.

Формула (2) дает связь между перемещением w ( прогибом пластины) и моментами, действующими в ее поперечном сечении.