Статистическое оценивание параметров

РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА

ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ

 

 

Выполнил студент гр. 1322

Конусов Н.Ю.

 

 

Иркутск 2007

Проводилось статистическое исследование количества потребляемой электроэнергии в течение каждого часа в дневное время на протяжении пяти дней в двухкомнатной квартире. Объем выборки n=90.

	1 Время Показания счетчика кВт * час Потребление кВт * час 5:00 30122,84   6:00 30122,93 0,09 7:00 30123,01 0,08 8:00 30123,19 0,18 9:00 30123,35 0,16 10:00 30123,75 0,40 11:00 30124,12 0,37 12:00 30124,67 0,55 13:00 30124,77 0,10 14:00 30124,97 0,20 15:00 30125,31 0,34 16:00 30125,48 0,17 17:00 30125,71 0,23 18:00 30126,23 0,52 19:00 30126,72 0,49 20:00 30127,34 0,62 21:00 30127,66 0,32 22:00 30128,17 0,51 23:00 30128,49 0,32   2 Время Показания счетчика кВт * час Потребление кВт * час 5:00 30130,26   6:00 30131,31 1,05 7:00 30131,86 0,55 8:00 30131,91 0,05 9:00 30131,97 0,06 10:00 30132,16 0,19 11:00 30132,58 0,42 12:00 30132,95 0,37 13:00 30133,58 0,63 14:00 30133,92 0,34 15:00 30134,17 0,25 16:00 30134,34 0,17 17:00 30134,55 0,21 18:00 30135,02 0,47 19:00 30135,40 0,38 20:00 30135,94 0,54 21:00 30136,56 0,62 22:00 30136,86 0,30 23:00 30136,88 0,02
			3 Время Показания счетчика кВт * час Потребление кВт * час 5:00 30137,17   6:00 30137,25 0,08 7:00 30137,31 0,06 8:00 30137,58 0,27 9:00 30137,74 0,16 10:00 30137,86 0,12 11:00 30138,12 0,26 12:00 30138,82 0,70 13:00 30139,49 0,67 14:00 30139,82 0,33 15:00 30140,20 0,38 16:00 30141,77 1,57 17:00 30143,12 1,35 18:00 30143,57 0,45 19:00 30144,32 0,75 20:00 30145,00 0,68 21:00 30145,53 0,53 22:00 30145,84 0,31 23:00 30147,17 1,33   4 Время Показания счетчика кВт * час Потребление кВт * час 5:00 30148,61   6:00 30148,68 0,07 7:00 30148,80 0,12 8:00 30148,88 0,08 9:00 30149,40 0,52 10:00 30150,32 0,92 11:00 30150,95 0,63 12:00 30151,10 0,15 13:00 30151,30 0,20 14:00 30151,67 0,37 15:00 30151,77 0,10 16:00 30152,16 0,39 17:00 30152,38 0,22 18:00 30153,00 0,62 19:00 30153,56 0,56 20:00 30154,29 0,73 21:00 30155,14 0,85 22:00 30155,66 0,52 23:00 30155,96 0,30

 

 

5
Время	Показания счетчика кВт * час	Потребление кВт * час
5:00	30157,52
6:00	30157,55	0,03
7:00	30158,01	0,46
8:00	30158,15	0,14
9:00	30158,67	0,52
10:00	30159,59	0,92
11:00	30160,79	1,20
12:00	30161,20	0,41
13:00	30161,40	0,20
14:00	30161,77	0,37
15:00	30162,23	0,46
16:00	30162,57	0,34
17:00	30162,79	0,22
18:00	30163,41	0,62
19:00	30163,97	0,56
20:00	30164,70	0,73
21:00	30165,55	0,85
22:00	30165,98	0,43
23:00	30166,28	0,30

 

ПЕРВИЧНАЯ СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА ДАННЫХ

1. Точечный вариационный ряд. Распределение x_i по частотам n_i.

xi	0	0,02	0,03	0,05	0,06	0,07	0,08	0,09	0,1	0,12	0,14	0,15	0,16	0,17
ni	0	1	1	1	2	1	3	1	2	2	1	1	2	2

 

0,18	0,19	0,2	0,21	0,22	0,23	0,25	0,26	0,27	0,3	0,31	0,32	0,33	0,34	0,37
1	1	3	1	2	1	1	1	1	3	1	2	1	3	4

 

0,38	0,39	0,4	0,41	0,42	0,43	0,45	0,46	0,47	0,49	0,51	0,52	0,53	0,54	0,55
2	1	1	1	1	1	1	2	1	1	1	4	1	1	2

 

0,56	0,62	0,63	0,67	0,68	0,7	0,73	0,75	0,85	0,92	1,05	1,2	1,33	1,35	1,57
2	4	2	1	1	1	2	1	2	2	1	1	1	1	1

Переход к группированным выборочным данным.

x_min = 0,02     x_max = 1,57. Диапазон [ x_min; x_max ] разбиваем на k равных интервалов. Воспользуемся формулой  k = log ₂ n + 1. k = 7.

Вариационный размах R = x_max - x_min = 1,55. Длина интервала h = R / k = 0,221.

Интервальный ряд 

Ci – C i+1	0,02 – 0,241	0,241 – 0,463	0,463 – 0,684	0,684 – 0,906	0,906 – 1,127	1,127 – 1,349	1,349– 1,570
n*i	29	27	21	6	3	2	2

 

Равноточечный ряд по частотам   

x*i	0,131	0,352	0,574	0,795	1,016	1,238	1,459
n*i	29	27	21	6	3	2	2

Равноточечный ряд по относительным частотам ;

x*i	0,131	0,352	0,574	0,795	1,016	1,238	1,459
w i	29/90	27 / 90	21 / 90	6 / 90	3 / 90	2 / 90	2 / 90
w i	0,3222	0,3000	0,2333	0,0667	0,0333	0,0222	0,0222

Равноточечный ряд по накопительным частотам

x*i	0,131	0,352	0,574	0,795	1,016	1,238	1,459
m*i	29	56	77	83	86	88	90

ГРАФИКИ

x*i

n*i

n*i

m*i

x*i

Построение эмпирической функции распределения

F* = n_x / n, где n_x – число элементов выборки (объема n), меньших, чем x.

x*i	0,130714	0,352143	0,573571	0,795	1,016429	1,237857	1,459286
F*	0,322222	0,622222	0,855556	0,922222	0,955556	0,977778	1

Числовые характеристики выборки по ряду

x*i	0,131	0,352	0,574	0,795	1,016	1,238	1,459
n*i	29	27	21	6	3	2	2

 

а) Выборочные среднее и дисперсия

< x_в > = (1 / n) ´ å(x_i ´ n_i ) = 0,43

D_в = (1 / n) ´ å(x_i - < x_в >)² ´ n_i = 0,0955               s_n = 0,309 = D_в²

б) Мода – значение, которое чаще всего встречается в данном вариационном ряду.

x_mod = 0,370

в) Медиана – средневероятное значение.

x_med = 0,385

г) Асимметрия

1,297

д) Эксцесс

2,338

5. Оценка близости выборочных наблюдений к нормальному закону

Положительная асимметрия говорит о том, что «длинная часть» кривой распределения расположена справа от математического ожидания, а положительный эксцесс – о том, что кривая распределения имеет более высокую и острую вершину, чем кривая нормального распределения.

СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ

1. Несмещенная оценка математического ожидания – выборочное среднее.

      _

M X = x = 0,4284

 

Несмещенная дисперсия – исправленная выборочная дисперсия.

0,096541

2. Построение доверительных интервалов для матожидания и дисперсии при неизвестных параметрах нормального закона с доверительной вероятностью, равной γ = 0,95 и 0,99.

а) γ=0,95      n = 90

МХ

=1,987

0,3633  < MX < 0,4953

 

Дисперсия

α=1-γ=0,05;

 64,793

116,989

 

0,073< < 0,133

 

б) γ=0,99      n = 90

 

МХ

=2,633

0,3420 < MX < 0,515

Дисперсия

α=1-γ=0,01;

 

116,989

 

0,068 < < 0,147

 

3. Используя таблицу случайных чисел получить 50 равномерно распределенных чисел из интервала (0; 10) X~R(a,b)

 

			Вариационный ряд
1	2	Xi	1	2	3	4	5	6	7	8	9
2	2	ni	6	11	7	5	4	3	2	8	4
2	5
4	6
1	5
2	1
5	2
2	8
3	3
8	1
8	3
8	9
1	4
2	9
4	6
9	3
5	9
2	3
4	7
3	2
6	8
1	2
8	3
7	8
8	4

 

Интервальный ряд

Ci-Ci+1	0-2	2-4	4-6	6-8	8-10
ni*	17	12	7	10	4

 

Точечный ряд

xi*	1	3	5	7	9
ni*	17	12	7	10	4
xi*ni*	17	36	35	70	36
(xi*)2ni*	17	108	175	490	324

 

Методом моментов найдем оценки неизвестных параметров равномерного распределения:

 

Метод моментов заключается в приравнивании определенного числа выборочных моментов к соответствующим теоретическим моментам.

X~R(a,b)

f(x) = 1 / (b - a), если x Î [a; b]

f(x) = 0, в противном случае

Þ     ,а   

 

Получим систему уравнений

                    

                        

b=7,76-a

a²+a(7.76-a)+60.2176-15.52a+a²=66.84

a²+7.76a-a²-15.52a+a²-6.6224=0

a²-7.76a-6.6224=0

D=60.2176-26.4896»33.728

 

Возможна пара решений

a = 6,7838  b = 0,9762

a = -0,9762 b = 8,7362

 

 

4. Методом максимального правдоподобия найдем точечную оценку параметра λ распределения Пуассона

X ~ П (λ) 

 P(X=k) =

Функция правдоподобия:

L=

Ln L(λ)=

 

Уравнение правдоподобия:

         =>    =>                  

 

 

Докажем несмещенность:

 

        

 

Докажем сосотоятельность: