Расчет токов КЗ методом узловых напряжений

 

Метод узловых напряжений (потенциалов) удобен тем, что позволяет непосредственно определять токи в ветвях схемы. Метод заключается в определении потенциалов в узлах электрической цепи относительно некоторого базисного узла, потенциал которого принимается за нуль.

Для отыскания n – 1 неизвестных потенциалов (n – общее число узлов) необходимо составить систему n – 1 уравнений:

 

 

 

где    искомые потенциалы узлов от 1 до n - 1;

g ₁₁, g ₂₂, g ₃₃, …,g_{n- 1, n- 1} – собственные проводимости узлов, представляющиe суммарную проводимость ветвей,  приходящих  к  k–му узлу из числа узлов от 1 до n - 1;

 g_km – сумма проводимостей ветвей (ветви), соединяющих узлы k и m, взятая со знаком минус (k  m);

I_kn – эквивалентный ток k-го узла, находится как сумма токов в ветвях, примыкающих к k-му узлу по формуле

.

 

Если в последнем выражении в ветви,,k – m’’ отсутствуют ЭДС, то необходимо положить Е_km = 0. При Е_km  0 знак ЭДС Е_km > 0 в случае, если ЭДС направлена к узлу k и Е_km < 0, если ЭДС направлена от узла k; g_km – проводимость ветви с Е_km  0.

При числе независимых узлов n-1 > 3 решение системы методом подстановки затруднительно. Для решения системы уравнений в этом случае можно воспользоваться теоремой Крамера. Запишем систему линейных уравнений в матричной форме:

 

 

Решение имеет вид

 

 

где

 -

 

- определитель матрицы проводимостей;

 алгебраическое дополнение, где  определитель, который получается из матрицы

 

 

вычеркиванием i–й строки и k–го столбца (такой определитель а^ik называется минором), i = [1.n-1], k = [1.n-1].

Матричный метод расчета токов КЗ удобен тем, что решение уравнения легко реализуется на ЭВМ с использованием стандартных подпрограмм.

Ток в ветви без ЭДС

 

.

 

Если в ветви содержится ЭДС, то ток равен

 

 

Если ЭДС и проводимости заданы в комплексной форме, то решение усложняется, так как на месте действительных чисел в уравнениях должны стоять комплексные числа. При расчетах токов КЗ считают, что ЭДС источников совпадают по фазе, которую в этом случае можно принять за нуль, то есть положить . Одновременно, если учитывать только реактивные сопротивления элементов, то эти сопротивления и проводимости можно использовать по модулю, полагая g = 1/X.

Расчет методом узловых потенциалов проводится для начального момента КЗ. Для определения токов КЗ в любой момент времени пользуются методами расчетных кривых [2].