Предел функции в точке и на бесконечности

Число b называется пределом функции у = f(x) при х, стремящемся к точке а, если для любой последовательности {xn}, сходящейся к а, причем ни при каком значении n хn ≠ а, последовательность {yn = f(xn)} сходится к b.

Число b называется пределом функции  на бесконечности при

 , если для любого   существует число   такое, что для всех

из того, что   , выполняется неравенство

Свойства функции, имеющие предел

Теорема 1.(единственность предела). Если функция  имеет предел

то это предел единственный.

Теорема 2.(необходимое условие существования предела). Если функция имеет конечный предел при , то она ограничена в некоторой окрестности точки  .

Теорема 3.Если функция  имеет конечный предел при  равный

и , то существует проколатая окрестнось точки  такая, что для любого из этой окрестности будет выполняться неравенство .

Теорема 4. Пусть в некоторой окрестности  имеет место неравенство

. Тогда если существуют конечные пределы и

 , то  .

Теорема 5. («о двух милиционерах») Пусть в некоторой окрестности   для функций  ,  , имеют место неравенства

. Если существуют конечные пределы  , то существует предел   .

Теорема 6.(об арифметических операциях с пределами функций). Если функции

и   имеют конечные пределы при   , то справедливы равенства

 , ,а если 

, то и равенство

Теорема 7. (о замене переменной в пределах). Пусть выполнены три условия:

 

1) существует конечный предел ;

 

2) существует конечный предел   ;

 

3) существует такая проколотая окрестность , что для любого x выполнено условие

 .

Тогда существует .

Теорема 8. Если существуют конечные пределы  и  , то существует предел  .