При исследовании динамики систем наведения используются математические модели различной степени сложности.
Линейные модели используются для предварительного выбора параметров системы наведения, обеспечивающих устойчивость и заданную точность наведения.
Нелинейные модели используются для уточнения параметров системы наведения, исследования точности наведения при различных параметрах движения и маневрах цели, а также для исследования точности наведения при действии возмущений и помех.
Нелинейная модель. Рассмотрим нелинейную математическую модель для исследования точности командной системы телеуправления первого вида при наведении по методу трех точек в пространстве.
Движение осесимметричного ЛА с аэродинамическим управлением в пространстве, рассматриваемого как твердое тело, определяется нелинейной системой дифференциальных уравнений (2.1).
Тяга реактивного двигателя и секундный массовый расход будем считать известными функциями времени.
Возмущения, действующие на ЛА, могу задаваться в виде:
– возмущающих моментов
– дополнительных углов отклонения рулей
– дополнительных углов атаки и скольжения .
К системе уравнений (2.1) добавим уравнения (2.11), (2.12), (2.14), учитывающие динамику контуров стабилизации крена, тангажа и рыскания:
(3.1)
где
При выборе параметров контуров стабилизации в вертикальной и боковой плоскостях нужно учесть следующее.
Пусть коэффициенты больше нуля.
Выберем знак коэффициентов kРПн и kРПв таким образом, чтобы при положительных и статически устойчивый ЛА всегда совершал движение с положительными нормальными перегрузками и .
Для ЛА обычной аэродинамической схемы и схемы ”бесхвостка” при установившееся значение угла атаки (коэффициент усиления снаряда отрицателен). При отрицательном угле атаки нормальная перегрузка отрицательна. Тогда для движения ЛА с положительной перегрузкой при положительном входном управляющем сигнале коэффициент усиления рулевого привода должен быть отрицательным.
При движении ЛА обычной схемы или схемы ”бесхвостка” в горизонтальной плоскости с установившееся значение угла скольжения (коэффициент усиления снаряда ). При отрицательном угле скольжения нормальная перегрузка в боковой плоскости . Следовательно, для движения ЛА с положительной перегрузкой при коэффициент усиления рулевого привода должен быть положительным.
Для ЛА схемы “утка” и с поворотными крыльями при установившееся значение угла атаки ( положителен). При нормальная перегрузка . Тогда для движения ЛА с положительной перегрузкой при нужно взять положительным.
При движении ЛА схемы “утка” и с поворотными крыльями при угол (). При нормальная перегрузка . Тогда для движения ЛА с положительной перегрузкой при нужно взять отрицательным.
К системе уравнений (3.1) нужно добавить уравнения, учитывающие ограничения на углы закладки рулей:
(3.2)
Кроме того, чтобы нормальные перегрузки, создаваемые ЛА, не превышали допустимых величин, обычно вводятся ограничения на входные управляющие сигналы:
(3.3)
Ограничения выбираются с учетом коэффициентов усиления контуров стабилизации перегрузки.
Например, если контур стабилизации перегрузки в вертикальной плоскости представить в виде, показанном на рис. 3.1, где передаточная функция , тогда передаточная функция замкнутой системы будет иметь вид
В этом случае в установившемся режиме
откуда при получим
Если то .
Сигналы управления , поступающие на входы систем стабилизации тангажа и рыскания, если не учитывать инерционность и ошибки передачи командной радиолинии управления, можно записать в виде:
(3.4)
где - коэффициент передачи КРУ.
При наведении по методу трех точек команды управления формируются в виде (см. (2.18)):
(3.5)
где линейные отклонения ЛА от кинематической траектории в вертикальной и горизонтальной плоскостях определяются формулами:
(3.6)
Положение центра масс ЛА относительно командного пункта управления определяется в сферической системе координат следующими уравнениями:
(3.7)
Положение цели в сферической системе координат относительно КПУ определяется аналогичными уравнениями:
3.8)
При использовании системы уравнений (3.6) движение цели можно задать в виде функций
(3.9)
или записать систему уравнений, определяющих движение цели в виде материальной точки:
(3.10)
В этом случае движение цели нужно задавать в виде программы изменения углов атаки и скольжения .
При необходимости можно использовать и более сложные модели движения цели.
Параметры измеряются РЛС с ошибками. При исследовании точности наведения с учетом ошибок измерений РЛС сигналы, поступающие на вход блоков формирования ошибок , можно представить в виде:
(3.11)
Ошибки измерений моделируются в виде случайных функций с заданными статистическими свойствами, учитывающими особенности используемых радиолокационных визиров.
В (3.11) не учитывается инерционность следящих систем РЛС.
Система уравнений (2.1), (3.1) - (3.9), (3.11) определяет динамику процесса наведения командной системы ТУ-1 по методу трех точек.
Изменяя параметры системы стабилизации и вводя корректирующие звенья, можно обеспечить устойчивость, требуемое качество и точность работы системы стабилизации ЛА.
Используя различные методы фильтрации сигналов с выхода РЛС ЛА и цели, можно обеспечить требуемую точность измерения параметров движения ЛА и цели.
За счет выбора параметров устройств формирования команд управления и компенсационных поправок обеспечивается требуемая точность наведения.
Рассмотрим нелинейную математическую модель командной системы ТУ-1 при наведении по методу трех точек в вертикальной плоскости.
С учетом системы уравнений (2.2) и рассмотренных математических моделей элементов системы наведения получим следующую систему уравнений:
Исследование точности командной системы ТУ-1 при наведении по методу трех точек с использованием данной системы уравнений рассмотрено в [28].
Аналогичную систему уравнений для исследования точности командной системы ТУ-1 при наведении по методу трех точек в горизонтальной плоскости можно получить на основе систем уравнений (2.3), (3.1) - (3.9), (3.11).
Линейная модель. Рассмотрим линейную модель командной системы ТУ-1 при наведении по методу трех точек в вертикальной плоскости.
Первый этап продольного возмущенного движения ЛА определяется линейной системой дифференциальных уравнений (2.4). Этой системе уравнений соответствуют передаточные функции (2.8). Структурная схема системы стабилизации ЛА в вертикальной плоскости приведена на рис. 2.3.
РЛС ЛА и цели, например, такие как РЛС с ФАР, можно рассматривать как безынерционные звенья. В этом случае сигналы на выходе РЛС можно представить в виде (3.11). Если для измерения угловых координат и дальности используются РЛС с электромеханическим приводом, то для их описания используются линейные системы дифференциальных уравнений и соответствующие им передаточные функции (см., например, (2.15)).
Для получения линейной модели кинематического звена, определяющего зависимость от параметров движения ЛА, необходимо линеаризовать кинематические уравнения:
(3.13)
Так как обычно угол мал, то эти уравнения можно записать так:
(3.14)
(3.15)
С учетом (3.14) уравнение (3.15) представим в виде
(3.16)
где - длина дуги (см. рис. 3.2).
Дифференцируя это уравнение, получим
Подставляя сюда значение q из (3.16), найдем уравнение для кинематического звена
где - нормальное к вектору скорости ЛА ускорение.
Считая ускорение постоянной величиной и усредняя значение скорости V, получим линейное уравнение с постоянным коэффициентом
,
которому соответствует следующая передаточная функция
(3.17)
При отсутствии тангенциального ускорения (3.17) приобретает особенно простой вид
(3.18)
Зная , угол места определяется из следующего соотношения
(3.19)
Передаточную функцию устройства формирования команд можно представить в следующем виде
(3.20)
где - передаточные функции фильтров низких частот, которые вводятся для подавления высокочастотных возмущений, возникающих в процессе дифференцирования и других преобразований ошибки наведения .
Используя линейные модели элементов составим структурную схему командной системы ТУ-1 при наведении по методу трех точек в вертикальной плоскости для линейной модели.
Структурная схема приведена на рис. 3.3. Здесь предполагается, что наклонная дальность до ЛА не измеряется, а используется программное значение R(t). На схеме индекс “ “ у переменных опущен. Возмущение, действующее на ЛА, представлено в виде дополнительного угла отклонения рулей высоты . Возмущения, действующие на РЛС цели, ЛА и радиокомандное устройство, показаны виде дополнительных сигналов
Линейная модель телеуправления содержит два основных нестационарных звена: что требует для исследования нестационарной линейной системы применения специальных методов.