2020-04-07
83
1. Элементы комбинаторики Размещением с повторениями из n по m элементов называется конечная последовательность 
элементов некоторого множества 
. Если все члены выборки различны, то последовательность называется размещением без повторений. Размещения без повторения - m- элементные выборки, различающиеся либо входящими элементами, либо порядком их следования. Размещение с повторениями – это выборка с возвращением выбираемых элементов. Число всех возможных размещений с повторениями равно 
(число комбинаций, выбираемых из m групп, содержащих по n элементов). Размещение без повторения – выборка без возвращения выбираемых элементов. Общее число различных комбинаций – размещений без повторений обозначается символом 
и равно 
(количество выборок из m групп, содержащих соответственно 
, 
, …, 
элементов).
Перестановками называются размещения из n по n элементов. Общее число перестановок обозначают символом 
.
Сочетаниями из n по m элементов называются m- элементные подмножества множества 
, имеющие различный состав элементов. Два сочетания считаются различными, если хотя бы один элемент входит в одну комбинацию, но не входит в другую. Общее число различных сочетаний обозначают символом 
.
|
|
|
Число размещений, перестановок и сочетаний определяются формулами:
2. Классическое определение вероятности
, где n – общее число элементарных событий (исходов, которые в данном опыте образуют конечную полную группу равновозможных попарно несовместных событий), m – число элементарных событий, благоприятствующих наступлению события А.
3. Геометрическое определение вероятности
. Вероятность попадания точки в какую либо часть А области Ω пропорциональна мере (длине, площади, объему и т.д.) этой части и не зависит от ее расположения и формы.
4. Основные свойства вероятности
Вероятность любого события А - число, заключенное между 0 и 1. Вероятность невозможного события равна 0. Вероятность достоверного события равна 1.
Сумма вероятностей противоположных событий равна 1:
Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:
Для любых двух событий A и B имеет место формула (теорема сложения для произвольных событий):
.
Для полной группы несовместных событий 
Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место:
- теорема умножения.
Если события А и В – независимые, то
- теорема умножения.
5. Формула полной вероятности. Формулы Байеса
|
|
|
Если известно, что событие А может произойти с одним из событий 
(гипотез), образующих полную группу попарно несовместных событий, то вероятность события А определяется по формуле полной вероятности:
Вероятности гипотез после того как имело место событие А переоценивают по формулам Байеса:
6. Если производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А одна и та же и равна p (вероятность «успеха»), то вероятность того, что в этих n испытаниях событие А наступит ровно k раз, выражается формулой Бернулли:
Число 
называется наивероятнейшим числом наступления события А
в n испытаниях по схеме Бернулли, если значение 
при 
не меньше остальных значений. Число 
можно найти из двойного неравенства:
.
7. Предельные теоремы в схеме Бернулли
Теорема 1 (Локальная теорема Лапласа). При больших n
Теорема 2 (Интегральная теорема Лапласа). При больших n вероятность того, что в серии испытаний событие А появится от 
до 
раз, выражается приближенной формулой:
,
- функция Лапласа.
Теорема 3 (Закон «редких» явлений Пуассона). При 
и малых p, если среднее число успехов 
, имеет место приближенная формула
.
