Преломление света на сферической границе раздела двух прозрачных сред

На рис.2 изображено отражение и преломление светового луча АВ в точке В,лежащей на сферической границе. Оптической осью сферической границы является прямая АА’, проходящая через центр кривизны сферической границы N и вершину сферической поверхности Н.

Ниже при рассмотрении свойств оптических систем будет показано, что в центре кривизны в случае одной сферической границы располагаются обе узловые точки системы N и N', а в вершине Н главные точки системы Н и Н’.

Рис.2

 

В общем случае кардинальные точки H и H’, N и N’ не совпадают друг с другом. Определения главных и узловых точек будут даны ниже. Точка A -  действительная точка предмета, лежащая на оптической оси, A’ - ее действительное изображение, образованное преломленными лучами, А” – мнимое изображение точки А, образованное отраженными лучами. Мы ограничимся рассмотрением изображения, образованного только преломленными лучами. Все формулы, которые будут получены для преломляющей сферической границы, справедливы и для отражающей сферической границы, если только учесть, что при отражении – n’= n. Также заметим, что все определения, характеристики и формулы, относящиеся к сферической границе, записанные в общем виде, полностью применимы к любой сложной центрированной оптической системе. Будем считать, что рассматриваемая оптическая система (сферическая граница) является идеальной в том смысле, что она позволяет получить неискаженные оптические изображения предметов. В идеальной оптической системе каждой точке предмета А соответствует в пространстве изображений одна точка А’, являющаяся стигматическим изображением точки А. ("стигма”- означает точка).Точки А и А’ называются сопряженными. Две точки, линии или поверхности, одна из которых является изображением другой, называются сопряженными. Идеальное (стигматическое) изображение можно получить только при использовании параксиальных лучей, т.е. лучей, идущих вблизи оптической оси. На практике параксиальные лучи не используют, поскольку они соответствуют бесконечно малым углам и, u’ и бесконечно малым вертикальным отрезкам h. Для приближенного нахождения хода световых лучей через оптическую систему используют так называемые "нулевые" лучи с достаточно большими для практики углами и и вертикальными отрезками h. При этом нулевым лучам условно приписывают те же свойства, что и параксиальным лучам. Такую воображаемую систему называют идеальной.

Как видно из рис. 2, в рассматриваемом примере сферическая граница преобразует расходящийся гомоцентрический пучок с центром в точке А в сходящийся гомоцентрический пучок с центром в точке А ‘. Выражение для оптического инварианта преломления в данном случае можно записать в виде:  

(2.1)

В приближении параксиальных лучей, которое называется Гауссовым приближением          (2.2)

Подставив (2.2) в (2.1), имеем:

 или

Поделив все члены последнего равенства на aa’r, получимформулу для сферической поверхности:   ,  (2.3)

здесь отрезки a и a’ определяют положение предмета и его изображенияи отсчитываются от передней и задней главных точек H и H’, которые в случае одной сферической границы совпадают, r – радиус кривизны сферической границы. Правая часть формулы (2.3) называется оптической силой сферической поверхности, обычно обозначается буквой Ф:

(2.4)

Оптическая сила Ф является однозначной характеристикой сферической границы двух оптических сред, не зависит от направления света. Для параксиальных лучей также не зависит от расстояний a и a’, т.е. в этом случае при заданном a положение изображения определяется однозначно (a' = сопst) и образуется стигматическое изображение, преломленный пучок сохраняет свой гомоцентризм. Для непараксиальных лучей оптическая сила оказывается зависящей от углов (- -i, i’, -u, u’), что приводит к нарушению гомоцентризма световых пучков и, следовательно, к искажению изображений, в частности, к сферической продольной абберации. Оптическая сила - положительная, если лучи, исходящие из действительной точки предмета, находящейся на оптической оси, при преломлении отклоняются в сторону оптической оси. Таким образом, оптическая система с положительной оптической силой является собирающей. Рассеивающая оптическая система обладает отрицательной оптической силой. Если правую часть формулы (2.3) обозначить как оптическую силу и переписать ее в виде (2.3а):

(2.3а),

то в такой записи эта формула справедлива для любой центрированной оптической системы, где Ф - оптическая сила соответствующей оптической системы. Оптическая сила в системе СИ измеряется в диоптриях.

 

§3. Фокусы, фокусные расстояния и фокальные плоскости оптической системы

Практическая полезность формулы (2.3а) для параксиальных лучей состоит, в частности, в том, что она позволяет вычислить положение изображения А’ при известном положении предмета А и, наоборот. При этом важным является случай, когда a = -¥,т. е. точка А действительного предмета находится достаточно далеко от сферической границы. В этом случае точка, сопряженная с точкой А обозначается F’ и называется задним фокусом оптической системы, отрезок а^' = Н'Р’ обозначается f’ и называется задним фокусным расстоянием оптической системы (рис. 3а). Вертикальная плоскость (нормальная к оптической оси), содержащая точку F', называется задней фокальной плоскостью. Таким образом, точка F’ сопряжена с точкой А бесконечно удаленного действительного предмета, лежащей на оптической оси. Соответственно, задняя фокальная плоскость сопряжена с бесконечно удаленной действительной плоскостью.

	Рис. 3а                                                Рис.3б

 

Из формул (2.3) получим, что при a = - ¥

(3.1)

В случае одной преломляющей сферической поверхности с учетом формулы (2.4) имеем:                         (3.1а)

Аналогично (рис.36), полагая a‘ = - ¥, введемпонятия переднего фокуса F,

переднего фокусного расстояния f и передней фокальной плоскости:

                                      (3.2)

В случае одной преломляющей сферической поверхности 

Рис.4

     (3.2а)

Таким образом, передний фокус F сопряжен с точкой А^’, находящейся на оптической оси в пространстве изображений и бесконечно удаленной от точки Н’. Как следует из (3.1) и (3.2) абсолютные величины фокусных расстояний ÷ f ÷ и ÷ f’ ÷, вообще говоря, не равны друг другу:

 

(3.3)

Лишь в частном случае, когда оптическая система находите в однородной среде (n’=n), ÷ f ÷ = ÷ f’ ÷. Это имеет место, например, для лупы, окуляра микроскопа, телескопа и других оптических систем, находящихся в воздухе. Формулы (3.1 – 3.3) верны для любой оптической системы. Формулы (3.1а) и (3.2а) справедливы только для одной преломляющей сферической границы. Заметим, что в последнем случае если r>о и n’>n,то f’ > r всегда, в то время как f может быть и больше и меньше r. Введение фокусных расстояний f и f’  позволяет несколько иначе записать формулу (2.3). Если разделить все члены формулы (2.3) на Ф, то с учетом (3.1) и (3.2) получим:

(3.4)

В случае оптической системы, находящейся в однородной среде, f = - f’ и

(3.5)

Для экспериментального определения фокусного расстояния оптической системы (толстой линзы, объектива и т.п.) удобно использовать формулу Ньютона (3.7), в которой положение предмета АВ и его изображения A’B’ определяются отрезками – x и x’, которые отсчитываются от фокусов F и F’ (рис.4). определяются отрезками – x и x’, которые отсчитываются от фокусов F и F’ (рис.4). Из рис.4 имеем:

           (3.6) или     x x’ = f f’ (3.7)

При n’ = n (например, линза в воздухе)

x x’ = - f ² = -f’ ²   (3.7а)

Рис.4

§4. Увеличение оптической системы

На рис. 5а показан прием построения изображения А’ действительной точки А, находящейся на оптической оси. На рис.5б, показаны 4 приема построения изображения В^’ действительной точки В, не лежащей на оптической оси. На рис. 5в и 5г показаны аналогичные приемы построения точек изображения мнимого предмета АВ.

Отношение поперечных размеров изображения и сопряженных с ними размеров предмета называется называется линейным поперечным увеличением b:

 , (4.1), где y’ = A’B’, y = AB.

Рис.5а

Рис.5б

Из рис.5б имеем:

, откуда

Выражая r через а и a‘ из формулы для сферической поверхности (2.3), окончательно получим, что                (4.2).

Из соотношения (З.6) также имеем, что                (4.2а).

Рис.5в

Рис.5г

 

Несложно показать, что рассеивающая линза в воздухе всегда дает только

мнимое (a’<0), прямое (b>0) и уменьшенное () изображение действительного (а<0) предмета. Собирающая линза дает прямое и уменьшенное изображение только для мнимого (a>0) предмета, при этом само изображение оказывается действительным. Поперечное увеличение изображения действительного предмета, даваемое собирающей линзой, может принимать любые значения: положительные, отрицательные, больше и меньше единицы в зависимости от расположения предмета относительно линзы. В случае мнимого изображения показатель преломления пространства изображения относится к той среде, через которую проходят действительные преломленные лучи.

Две сопряженные плоскости, для которых b =1, называются главными плоскостями. Из сказанного выше следует, что равенство b =+1 возможно, если предмет мнимый (a > 0, a’ > 0 ) или изображение мнимое (a < 0, a’ < 0), причем абсолютные величины a и a’ стремятся к нулю. Для сферической преломляющей границы главные плоскости совпадают и касательны к поверхности границы в точке Н (H’). В общем случае главные плоскости не совпадают друг с другом и всегда перпендикулярны оптической оси. Точка пересечения H передней главной плоскости с оптической осью называется передней главной точкой, а сопряженная с ней точка Н’, лежащая на пересечении задней главной плоскости с оптической осью, называется задней главной точкой.

На рис.6 показан предмет в виде треугольника АВС и его изображение А’В’С’. Направим луч АД вдоль гипотенузы АС. Тогда –u=ÐCAB, u’=ÐC’A’B’. Отношение

(4.3)

называется угловым увеличением. Из рис.6 имеем в параксиальном приближении:

(4.4)

Сравнивая выражения (4.2) и (4.4), получим, что

(4.5)

Рис.6

 

В частном случае, для оптической системы в однородной среде (n’ = n) .

Например, телескоп дает уменьшенное изображение Луны (½b½ << 1) при очень большом угловом увеличении (g>>1). Последнее условие необходимо для разрешения близких друг к другу деталей изображения предмета, находящегося на большом расстоянии.

Сопряженные точки, для которых g=1, называются узловыми точками, а плоскости, проходящие через узловые точки и нормальные к оптической оси, называются узловыми плоскостями. Для лучей, проходящих через узловые точки, u = u’, т.е. такие лучи после преломления в системе не изменяют своего первоначального направления. У сферической преломляющей границы обе узловые точки сливаются в одну и совпадают с центром кривизны поверхности N. Фокусы, главные и узловые точки являются кардинальными точками оптической системы. У оптической системы, находящейся в однородной среде (n = n’) узловые и главные точки совпадают друг с другом (g = b =1).

Продольным увеличением называется отношение 

(4.6)

Из рис.6 имеем, что

, (4.7)

Сравнивая (4.5) и (4.7), получим, что

(4.8)

Таким образом, продольное увеличение всегда положительное. Отсюда следует важный практический вывод: при перемещении предмета вдоль оптической оси его изображение смещается в ту же сторону. Из рис.6 также видно, что треугольники АВС и A’B’C’ никогда не бывают подобными, т.е. с помощью рассматриваемых оптических систем нельзя получит неискаженное пространственное изображение. В параксиальных лучах можно получить практически неискаженное изображение предмета, расположенного в вертикальной плоскости.

Наряду с рассмотренными выше коэффициентами увеличения b, a и g для оптических систем, включающих и глаз наблюдателя, вводится понятие видимого увеличения Г, равного отношению тангенса угла, под которым глаз наблюдателя видит изображение, образованное оптической системой и расположенное на расстоянии наилучшего зрения L₀ от передней главной плоскости глаза, к тангенсу угла, под которым наблюдатель видит предмет невооруженным глазом (рис.7):

(4.9)

Рис.7

 

Обычно линейным увеличением характеризуют масштаб изображения проекционных объективов. Масштаб изображения зрительных труб (телескопических систем) и микроскопов характеризуют видимым увеличением.

 

Работа № 1