Тема 5. Система разрешающих уравнений МКЭ для балочного конечного элемента

5.1. Особенности формулировки разрешающей системы уравнений МКЭ для балочных КЭ

Итак, имеется возможность распространить форму основных соотношений стержневого КЭ на матрицы, определяющие балочный КЭ, которые соответствуют по смыслу аналогичным матрицам стержневого элемента. Такими матрицами являются матрица жесткости КЭ , матрица преобразований (p) и матрица внешних сил { Р }. Элементы первых двух матриц представлены формулами (16) и (17).

Естественно, что система разрешающих уравнений МКЭ для балочного КЭ также выражает условия равновесия узлов дискретизации, а потому и путь построения ее матричной формы для ансамбля узлов дискретизации не претерпевает изменений.

Вместе с тем, анализ сил, действующих на узел дискретизации обнаруживает еще одну группу, возникновение которой невозможно в стержневом КЭ, – это усилия, возникающие от внутрипролетной нагрузки на балочный КЭ. Действительно, под действием узловой нагрузки совместность перемещений сечений КЭ, объединенных в конкретном узле, обеспечивается деформированием соответствующих элементов. А это, в свою очередь, порождает осевые усилия и в стержневых и в балочных КЭ. Но балочный КЭ может деформироваться и не за счет узловой нагрузки! Более того, для балочных систем более характерными является как раз нагрузки, действующие между узлами опирания.

Конечно, можно так назначить узлы дискретизации, чтобы внутрипролетная нагрузка в виде сосредоточенных сил и моментов пришлась именно в эти узлы. Однако с распределенной вдоль оси балки нагрузкой такой вариант не проходит, если только не смоделировать такую нагрузку системой сосредоточенных сил, что породило бы дополнительные проблемы, связанные с погрешностью моделирования распределенной нагрузки.

Учет внутрипролетной нагрузки проводится по той же схеме, что и учет нагрузки от смещения опорных узлов:

1. В ЛСК вычисляются реакции в опорных узлах от нагрузки, приложенной внутри пролета, каждого балочного КЭ.

2. Векторы преобразуется в векторы с компонентами, определенными в ГСК с помощью матриц (p).

3. Из компонент векторов , построенных для всех КЭ ансамбля, формируется вектор по тем же принципам, что и вектор узловых нагрузок: учитываются только те компоненты векторов , которые действуют вдоль эффективных степеней свободы.

4. Вектор вносится в разрешающую систему уравнений с обратным знаком.

В результате указанных операций разрешающая СЛАУ МКЭ для схемы дискретизации ЗРС из балочных КЭ принимает вид:

. (18)

5.2. Внутрипролетная нагрузка на балочный конечный элемент и ее учет в разрешающей системе уравнений

Под внутрипролетной нагрузкой мы будем понимать любую систему внешних сил, расположенную между узлами (и, возможно, в узлах!) дискретизации. Реакции на такую нагрузку возникают при неподвижных узлах дискретизации, когда деформирующие поперечные перемещения и углы поворота концевых сечений отсутствуют. Такое закрепление известно как жесткое. Эта схема опирания и является опиранием стандартного балочного КЭ.

Определение вектора реакций балочного КЭ на внутрипролетную нагрузку начнем с использования принципа независимости наложения воздействий (принципа суперпозиции), разделив любую комбинацию нагрузок на ее основные виды: распределенную по некоторому участку, сосредоточенную силу или сосредоточенный момент.

Определение матрицы-столбца реакций элемента в ЛСК проводится как решение статически неопределимой задачи о равновесии соответствующей балки, причем все определяющие характеристики (длина, жесткость, величина нагрузки) задаются параметрически через уже известную систему масштабов нагрузки q и линейного размера a.

Решение такой задачи выполнено в методе перемещений в форме табличных эпюр метода перемещений для изогнутых стержней с внутрипролетной нагрузкой.

Следует принять во внимание, что аналогия между воздействием внутрипролетной нагрузки и нагрузки концевыми перемещениями распространяется только на способ воздействия на КЭ – непосредственно на элемент. А вот в направлении векторов воздействий имеется разница. Она заключается в том, единичные перемещения всегда положительно направлены, а внутрипролетная нагрузка, которая нам задана, может иметь любой знак в ЛСК. Поэтому нужно соотносить фактическое направление нагрузки и табличное, помещая табличную эпюру в ту же ЛСК, что мы имеем для данного КЭ на схеме дискретизации.

5.3. Автоматизация составления разрешающей системы уравнений

Для автоматизации составления СЛАУ типа (28) применяется таблица индексов. Для балочного КЭ таблица имеет вид, который по смыслу ее компонентов не отличается от таблицы индексов для стержневого КЭ. Но число деформирующих степеней свободы возрастает до шести за счет учета углов поворота концевых сечений балочного КЭ.

Таким образом, технология использования таблицы индексов полностью совпадает с уже изложенной на примере стержневого КЭ.

Вид таблицы индексов для балочного КЭ приведен на рис. 14.