Задача 42. Вычислить интеграл по полукругу радиуса 1 в правой полуплоскости.
Решение.
Алгоритм: 1) определить границы интегрирования по .
2) пересчитать в функции через , используя , .
3) домножить на определитель Якоби, который равен .
Так как полукруг именно в правой полуплосости, то учитываются 4-я и 1-я четверти, то есть угол от -90 до 90 градусов.
= =
= = = = .
Ответ. .
Для сравнения, покажем, что можно было вычислить и в декартовых координатах, т.е. полярные использовать не обязательно, однако удобнее.
= = = = = = .
Задача 43. Вычислить , где D - четверть круга радиуса 2 (в первой координатной четверти).
Решение. Заменим , , а также умножим на якобиан .
= =
= =
= = = . Ответ. .
Задача 44. Вычислить , где D - четверть круга радиуса 1 (в первой координатной четверти).
Решение.
= =
=
Дальше остаётся интеграл от одной переменной, там можно применять обычный способ, подведение под знак дифференциала.
= = = = = .
Ответ. .
Площадь поверхности (с помощью двойного интеграла).
|
|
Задача 45. Найти площадь поверхности .
Физический смысл задачи: сколько металла потребуется на изготовление параболической антенны.
Решение. Найдём интеграл где D окружность радиуса 1. Здесь , .
, перейдём к полярным координатам.
= =
= =
= = =
= .
Ответ. .
Задача 46. Записать в полярных координатах двойной интеграл по треугольнику с вершинами (0,0), (1,0), (1,1).
Решение.
В декартовых координатах интеграл был бы в виде: .
Границы изменения угла от 0 до 45 градусов. Определим верхнюю границу роста радиуса в зависимости от угла поворота. Для этого нужно задать линию в полярных координатах. Подставим выражение x через полярные координаты в уравнение этой линии, получим , тогда .
Ответ. .
Как видим, полярные координаты можно применять далеко не только в случае круговых областей, однако большого преимущества здесь это уже не даёт, пределы внутреннего интеграла здесь тоже зависят от внешнего.