Уравнения связи между напряжениями и деформациями. Предельные состояния

Напряжения и деформации связаны однозначно. На феноменологическом уровне эта связь устанавливается на основании экспериментальных исследований или модельных представлений. Для упругой деформации при линейном напряженном состоянии вид функции σ = f (ε)ε определен известным из курса сопротивления материалов законом Гука. В общем случае, когда рассматривается объемное напряженно – деформированное состояние, связь между напряжениями и деформациями выражается следующим соотношением между девиаторами напряжений и деформаций:

                                                    (4.1)

где  – модуль сдвига. Раскрывая это тензорное соотношение, получаем уравнения связи между напряжениями и деформациями в упругой области:

где Е – модуль Юнга.

ν – коэффициент Пуассона – величина отношения относительного поперечного сжатия к относительному продольному растяжению. Не зависит от размеров тела, зависит от материала. Вместе с модулем Юнга полностью характеризует упругие свойства изотропного материала. Безразмерен. Для абсолютно хрупких тел коэффициент Пуассона равен 0, для абсолютно несжимаемых – 0,5.

Модуль Юнга Е (модуль упругости I рода) – физическая величина, характеризующая свойства материала сопротивляться растяжению или сжатию при упругой деформации. Измеряется в Н/м² или Па. В случае изотропного тела модуль Юнга связан с модулем сдвига G (модуль упругости II рода) следующим соотношением

                                                      (4.3)

Модуль сдвига  - физическая величина, характеризующая способность материала сопротивляться сдвиговой деформации. Измеряется в Па.

Из уравнений (4.2) можно сделать три важных вывода.

1. Если равны две компоненты тензора напряжений Т_σ то равны и соответствующие компоненты деформации, и наоборот.

2. Если в направлении координатной оси k деформация  равна нулю, то напряжение в направлении этой оси отлично от нуля и пропорционально среднему напряжению  (полусумме 2-х других).

3. Если в направлении координатной оси  напряжение  равно нулю, то деформация  в направлении этой оси отлична от нуля и пропорциональна средней деформации .

Связь между напряжениями и деформациями при пластическом деформировании может быть выведена на основании следующего экспериментального положения. В каждый момент активной пластической деформации, по крайней мере, в условиях простого нагружения, - направления главных линейных деформаций (удлинений) совпадает с направлением главных нормальных напряжений. Деформация активна, если интенсивность напряжений имеет значение, превышающая все предшествующие ее значения (нарастает).

Можно показать, что выражение пластических деформаций аналогичны выражениям для упругих деформаций

                               (4.4)

Так как объем тела при пластической деформации не изменяется, то коэффициент представляет собой коэффициент Пуассона, а модуль упругости первого рода Е заменен на коэффициент . Этот коэффициент называют модулем деформации или модулем пластичности I рода.

Из уравнения (4.3) приняв коэффициент Пуассона ν = 0,5 получим:

.

В случае пластической деформации .

Здесь  - модуль деформации II рода.

Разница между модулями упругости Е и , с одной стороны, и модулями деформации  - с другой, состоит в том, что первые величины - константы материала, а вторые – переменные, могущие принимать различные значения, из которых каждое действительно только для одного какого – либо момента процесса деформации.