Дополнительные задачи на произвольные законы распределения и вычисление числовых характеристик для этих законов

1. Распределение вероятностей случайной величины Х  задается интегральной функцией распределения:

Построить график функции плотности распределения вероятностей случайной величины Х. Вычислить вероятность попадания случайной величины в интервал (2;3). Найти для случайной величины Х математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение. Показать вычисленную вероятность и математическое ожидание на графике функции плотности. (Ответы: р=0.152, ЕХ=3,  = 0.968).

2. Плотность распределения случайной величины Х имеет вид

Вычислить неизвестную константу с.
Для случайной величины Х:
а) Построить график функции плотности распределения вероятностей;
б) Вычислить математическое ожидание и дисперсию.
в) Найти вероятность попадания значений случайной величины Х в интервал (1;4).

(Ответы: c=1/ ; ЕХ=0; DX=4.500; р=0.392).

Задачи на применение нормального закона распределения

3. Месячная прибыль компании Мобильные телефоны Средиземья (МТС) является нормальной случайной величиной с математическим ожиданием 1 000 в валюте Средиземья и дисперсией 250 000. Чему равна вероятность того, что прибыль компании окажется: а) в пределах от 500 до 2 000?; б) более 1 250? Построить график плотности данного нормального распределения и указать на графике область, соответствующую вероятности из пункта а)

4. Ежедневная прибыль супермаркета «На распутье» является нормальной случайной величиной с со средним значением 500 у.е. и неизвестной дисперсией. На основе наблюдений найдено, что вероятность отклонения от среднего значения в сторону уменьшения или увеличения ежедневной прибыли на 150 у.е. примерно равна 70%. Оценить величину среднего квадратического отклонения этой случайной величины и найти вероятность того, что в случайно выбранный день недели прибыль супермаркета превзойдет 700 у.е.

5. Монета брошена 200 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет ровно 80 раз. Найти вероятность того, герб выпадет более 150 раз. Найти наивероятнейшее число выпадений герба.

6. При данном технологическом процессе 85% всей произведенной продукции является высшим сортом. Произведено 200 изделий. Какова вероятность того, что более 150 изделий будут изделиями высшего сорта? Найти наивероятнейшее число изделий высшего сорта.

7. Имеется партия в 5000 деталей. Вероятность того, что деталь неисправна, равна 0.001. Найти вероятность того, что в этой партии 10 деталей неисправны. Найти наивероятнейшее число неисправных деталей в этой партии и соответствующую этому числу вероятность.

8. Процент всхожести семян 90%. Оценить вероятность того, что из тысячи посеянных семян взойдет от 850 до 950 включительно. Найти наивероятнейшее число всхожести семян.

9. Произведено 600 изделий. Вероятность брака для одного изделия равна 0.2. Найти вероятность того, что количество бракованных изделий превзойдет 400. Найти наивероятнейшее число бракованных изделий.

10. Имеется партия в 1800 деталей. Вероятность того, что деталь окажется бракованной, равна 0.02. а) Найти вероятность того, что в этой партии 30 деталей неисправны. б) Найти вероятность того, что количество неисправных деталей будет менее 30. в) Найти вероятность того, что количество неисправных деталей будет от 30 до 50. г) Найти наивероятнейшее число неисправных деталей и соответствующую этому вероятность.

11. Вероятность того, что компакт-диски, подготовленные для записи информации, имеют дефекты, равна 0.02. Для записи взяты 1200 дисков. Какова вероятность того, что: а) менее 15 дисков будут бракованными; б) ровно 20 дисков будут иметь брак?

12. Из винтовки произведено 900 выстрелов. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0.7. Найти вероятность того, что произойдет ровно 555 попаданий. Найти вероятность того, что произойдет менее 800 попаданий. Найти наивероятнейшее число попаданий.

Задачи на показательный закон распределения

13. Замечено, что посетители офиса данной фирмы образуют пуассоновский поток. Подсчитано, что в среднем приходят 4 человека в час. Найти вероятность того, что: а) за час никто не придет, б) в течение получаса придут 3 человека; в) за 45 минут придут более двух человек.

14. В банке оператор тратит на обслуживание одного клиента в среднем 20 минут. Какова вероятность того, что: а) за один час оператор обслужит два клиента; б) менее двух клиентов?

15. Случайная величина  имеет показательной распределение с параметром . Найти вероятность попадания этой случайной величины в промежуток (-1.5; 3.2). Построить график плотности этого распределения и указать на нем фигуру, соответствующую найденной вероятности. Найти математическое ожидание  и показать его на графике. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.

16. Непрерывная случайная величина имеет плотность распределения следующего вида: . Найти неизвестный параметр распределения. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Показать на графике плотности значения математического ожидания и среднего квадратического отклонения. Найти вероятность попадания значений случайной величины в интервал ; показать на графике эту вероятность.

17. Получить ряд распределения для случайной величины – числа попаданий в цель при двух выстрелах, если вероятность попадания в цель равна 0.8 при одном выстреле. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины. Построить график функции распределения и показать на нем математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение.

Числовые характеристики случайных величин и их свойства

18. Имеются две независимых случайных величины  и  с известными математическим ожиданием и дисперсией:  Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины .

19. Коэффициент корреляции между случайными величинами и равен . Найдите коэффициент корреляции между случайными величинами  и .

20. Имеются три независимые случайные величины X, Y, Z с известными математическими ожиданиями, которые, соответственно, равны (-5), (-2) и 3. Найти математические ожидания двух других случайных величин и .

21. Доход фирмы за месяц представляется нормально распределенной случайной величиной со средним значением 3 млн. долл. и средним квадратическим отклонением 0.5 млн. дол.. Найдите вероятность того, что в данном месяце доход фирмы будет более 4 млн. долл. Напишите формулу плотности распределения этой случайной величины, нарисуйте ее график и покажите на нем вычисленную вероятность.

22. Доход фирмы за месяц представляется нормально распределенной случайной величиной со средним квадратическим отклонением 0.5 млн. долл. Известно, что в 70% случаев доход фирмы превышает 4 млн. долл. Найдите средний доход фирмы.