Геометрическое определение вероятности

Классическое определение вероятности основывается на том, что число всех возможных случаев конечно.

Если распределение возможных исходов испытания непрерывно и бесконечно, то при решении задач используется понятие геометрической вероятности — вероятности попадания точки в область (отрезок, часть плоскости и т. д.).

При определении геометрической вероятности полагают, что имеется область G и в ней меньшая область gс квадрируемой границей. На Gнаудачу бросается точка. Событие А — попадание точки в область g. Вероятность попадания в какую-либо часть G пропорциональна мере этой части (обозначим mes) и не зависит от ее расположения и формы.

Геометрической вероятностью события А называется отношение меры области g, благоприятствующей событию А к мере всей области G:

.                   (1.10)

Область, на которую распространяется геометрическая вероятность, может быть:

· одномерной (кривая, отрезок), тогда ее мерой является длина;

· двумерной (геометрическая фигура на плоскости), мерой ее является площадь;

· трехмерной (тело в пространстве), мерой ее является объем;

· n-мерной в общем случае.

При этом вероятность попадания случайно взятой точки в область размерности меньшей, чем п, например, в границу области, равна нулю.

Геометрическую вероятность можно считать аналогом классического определения вероятности непрерывного пространства, так как предполагается, что положение точки равномерно распределено по области G, т. е. вероятность попадания точки в область g пропорциональна n-мерной этой области.

В качестве примера решения задачи на основе геометрической вероятности, как правило, рассматривается задача о встрече.

Пример 1.19. Два друга договорились встретиться в определенном месте между 16.00 и 17.00. Пришедший первым ждет другого в течение 15 минут, после чего уходит. Какова вероятность их встречи, если приход каждого из друзей в течение указанного времени случаен и моменты прихода независимы?

Решение.

Событие А состоит в том, что встреча друзей состоялась.

Обозначим х и у – моменты прихода двух друзей, которые меняются в интервале от 0 до 60 минут. Все такие пары (х, у) представляют собой все возможные моменты приходов двух друзей. Для того чтобы встреча состоялась необходимо, чтобы  или , т. е. .

При графическом изображении (х, у) в двумерной системе координат область G – всех возможных исходов представляет собой квадрат со сторонами 60, а область g – исходов, благоприятствующих событию А, представляет собой выделенную область. Вероятность события А, согласно геометрическому определению вероятности (1.10), равна отношению площади выделенной фигуры к площади квадрата:

.

		15