Сочетания с повторениями

Сочетание с повторениями – каждый элемент, входящий в соединение, может быть представлен более чем одним элементом:

В дальнейшем сочетание без повторений мы будем называть одним словом – «сочетание».

Задача: В классе 22 учащихся. Двух из них следует назначить дежурными. Сколькими способами это можно сделать?

Замечание

При решении задач по комбинаторике следует обращать внимание, учитывается ли порядок в сочетаниях. Если порядок учитывается, то есть составляются упорядоченные множества, то это – размещения. Если порядок не учитывается, то есть составляются множества, то это – сочетания.

Типичные задачи, в которых обычно путаются учащиеся

Сочетания	Размещения
1. Сколько рукопожатий получится, если здороваются 5 человек? {Вася, Петя} = {Петя, Вася} – одно и тоже. Значит, порядок неважен, значит это подмножество по два элемента из 5, значит это сочетание из пяти по два.	1. Сколькими способами пять человек могут обменяться фотографиями? {Вася, Петя} ≠ {Петя, Вася} – разные обмены. Значит, порядок важен, значит это последовательность по два элемента из 5, значит это размещение из пяти по два.
Перестановки
1. Сколькими способами n человек могут сесть на одной скамейке? Pn = n!	2. Сколькими способами n человек могут сесть за круглым столом?

Самостоятельная работа

Пример 1. Сколькими способами семь книг разных авторов можно расставить на полке в один ряд?

Пример 2. На родительском собрании присутствует 20 человек. Сколько существует различных вариантов состава родительского комитета, если в него должны войти 5 человек?

Пример 3. На факультете изучается 16 предметов. На понедельник нужно в расписание поставить 3 предмета. Сколькими способами можно это сделать?