Группа 85 «Автомеханик»

МАТЕМАТИКА

Тема 85-86:   «Равносильность неравенств»

Цели:

- систематизировать, обобщить знания и умения по применению методов решения неравенств;

- развивать умение наблюдать, обобщать, классифицировать, анализировать математические ситуации.

 

Продолжительность занятия  - 2 часа

 

Оборудование:  карточки с заданиями, чертежные инструменты, ручка, тетрадь

Краткие теоретические сведения:

Краткое обсуждение тех теоретических знаний, которыми они обладают и пользуются при решении неравенств.

Решить неравенство − это означает найти все его решения или доказать, что их нет. Совокупность всех решений неравенства называется множеством решений неравенства.

Два неравенства, f (x) < g (x) и f1 (x) < g1 (x), называются равносильными на множестве X, если на этом множестве неравенства имеют одни и те же решения, то есть, если каждое решение неравенства (2) является решением неравенства (3), и наоборот, каждое решение второго неравенства является решением первого. Два неравенства, не имеющие решений на каком-либо множестве, также считаются равносильными на этом множестве.

Из приведённого определения следует, что если неравенство f1 (x) < g1 (x) окажется более простым, чем равносильное ему неравенство f (x) < g (x), то и решать нужно именно его, так как решения у него те же. Остаётся единственная проблема: как от неравенства (2) перейти к равносильному ему неравенству (3) или, как говорят, осуществить равносильный переход? Сформулируем несколько общих правил, позволяющих это делать.

 

Правило 1. Если функции f (x), g (x) и h (x) определены на множестве X, то неравенства

f (x) > g (x) и f (x) + h (x) > g (x) + h (x)

равносильны на этом множестве.

Правило 2. Если h (x) > 0 на множестве X, то неравенства

равносильны на этом множестве.

Вывод. Обе части неравенства можно умножать на положительную функцию, не нарушая равносильности.

Правило 3. Если h (x) < 0 на множестве X, то неравенства

равносильны на этом множестве.

Вывод. Обе части неравенства можно умножать на отрицательную функцию, не нарушая равносильности, меняя при этом знак неравенства на противоположный.

Правило 4. Если f (x) ≥ 0, g (x) ≥ 0 на множестве X, то неравенства

равносильны на этом множестве.

Вывод. Если обе части неравенства неотрицательны, то возведение в квадрат неравенства не нарушает равносильности. Заметим, что возводить неравенство в квадрат можно, только если обе части этого неравенства неотрицательны. Если хотя бы одна из частей неравенства отрицательна, возведение неравенства в квадрат, вообще говоря, не является равносильным преобразованием. Яснее всего это видно на примере числовых неравенств. Так, если верное неравенство −1 > −4 возвести в квадрат, то получится неверное неравенство 1 > 16. Такое противоречие вызвано именно тем, что части первоначального неравенства не были неотрицательными.

 

Пример 1.

Равносильны ли неравенства

Неравенства неравносильны. Действительно,

Неравенство x + 3 < 5 будет верным и тогда, когда x + 3 < –5, например, при x = –100. Первое же неравенство при x = –100 неверно.

Ответ. Нет.

 

Пример 2.

 

Равносильны ли неравенства и

Неравенства неравносильны. В самом деле,

Значит, множеством решений первого неравенства являются область x ≥ 0, а второго x > –1. Поскольку это разные множества, то неравенства неравносильны.

Ответ. Нет.

 

Домашнее задание:

Сделать конспект по теме, решить задачи и оформить их решение:

1. Равносильны ли неравенства:

а) 3х+1 > 2x+4 и 3x > 2x+3

б) 2x ≤ 6 и x² ≤ 9

2. Решить неравенства:

а)

б)

Список литературы:

Алгебра и начала математического анализа, автор Ш.А.Алимов, Ю.М.Колягин, М.В.Ткачева, учебник для общеобразовательных организаций, базовый и углубленный уровни, 5 издание, Москва «Просвещение», 2019г.

 

Преподаватель - Брыкало А.А., brukalo_aa@mail.ru