Основные аксиомы стереометрии и следствия из них

Раздел геометрии, в котором изучаются фигуры, расположенные в пространстве, называется стереометрией.

Основными понятиями стереометрии являются точка, прямая и плоскость. Пространство состоит из бесконечного множества точек.

Основные фигуры в пространстве: точки, прямые и плоскости.

рис. 1	рис. 2	рис. 3

Прямые и плоскости состоят из бесконечного множества точек пространства и не совпадают со всем пространством.

Основные свойства точек, прямых и плоскостей, касающиеся их взаимного расположения, выражены в аксиомах.
Сформулируем основные аксиомы стереометрии. Напомним, аксиомы - это предложения, принимаемые без доказательства. Аксиомы геометрии являются абстракцией соответствующих свойств окружающего нас реального мира.

Будем предполагать, что для любой плоскости пространства выполняются все аксиомы, определения и теоремы планиметрии. Кроме того, будем предполагать справедливыми следующие аксиомы стереометрии:

А1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

	А В (точки А, В, С лежат в плоскости ) С
рис. 4

А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости

	АB Прямая АВ лежит в плоскости
рис. 5

Замечание. Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что они пересекаются.

	а = М Прямая а и плоскость пересекаются в точке М.
рис. 6

А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

	= a и пересекаются по прямой а.
рис. 7

Следствие 1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.

Доказательство. На данной прямой l возьмем какие-нибудь две точки А и В (рис.).

Тогда по аксиоме 1 через данную точку М и точки А и В проходит единственная плоскость р и все точки прямой l принадлежат плоскости р.

Следовательно, плоскость р проходит через прямую l и не принадлежащую ей точку М. Другой такой плоскости нет, так как она должна проходить через три точки А, В, М, не лежащие на одной прямой, и, следовательно, должна совпасть с плоскостью р.

Следствие 2. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.

Доказательство. Действительно, пусть прямые 1 ₁ и 1 ₂ пересекаются в точке М (рис.).

На прямых 1 ₁ и 1 ₂ возьмем какие-нибудь точки A и В, отличные от точки М. Тогда через три точки А, В, М проходит единственная плоскость р. В силу аксиомы 2 плоскость р проходит через данные прямые 1 ₁ и 1 ₂.