Теорема о сложении пар, лежащих в одной плоскости. Система пар, лежащих в одной плоскости, эквивалентна одной паре, лежащей в той же плоскости и имеющей момент, равный алгебраической сумме моментов слагаемых пар.
Доказательство: пусть на тело действуют три пары с моментами , , (рис. 4.7, а). На основании теоремы об эквивалентности пар их можно заменить тремя парами , , , имеющими общее плечо и такие же моменты: , , (рис. 4.7, б). Складывая отдельно силы, приложенные в точках и , получаем в точке силу , а в точке – силу , которые по модулю будут равны: (рис. 4.7, в).
В результате вся система пар заменяется одной парой с моментом . Для случая из пар с моментами , , … система заменяется одной парой с моментом . Если пары расположены в пространстве, то можно перейти к векторному равенству . Проектируя это векторное равенство на оси декартовой системы координат, получаем
, , .
Отсюда следует условие равновесия системы пар: для равновесия системы пар необходимо и достаточно, чтобы момент результирующей пары был равен нулю .
|
|
Геометрическое условие равновесия:для равновесия произвольной системы пар необходимо и достаточно, чтобы векторный момент результирующей пары был равен нулю .
Аналитическое условие равновесия: или через проекции на оси , , .
Практическое занятие
Система пар сил
Дано. Куб со стороной , изображенный на рисунке 4.8, а подвешен к двум вертикальным стержням и так, что его диагональ горизонтальна. К кубу приложены пары сил , . Пренебрегая весом куба, определить при каком соотношении между силами этих пар, он будет в равновесии и чему при этом равны реакции стержней.
Решение. Система пар и эквивалентна одной паре, может быть уравновешена только парой сил. Следовательно, искомые реакции и должны образовывать пару.
Ее момент, направленный перпендикулярно диагонали , проведен так, как показано на рис. 4.8, б. При этом по модулю . Моменты заданных пар обозначим , . Направления векторов и показаны на рис.4.8, б. Проводя оси координат, составляем условия равновесия:
, ,
, , .
Таким образом, равновесие возможно, когда . Реакции стержней также равны по модулю и направлены вдоль самих стержней (рис. 4.8, б).
Ответ: .