2020-05-12
2876
Теоретический материал
Излучательная и поглощательная способности тел, равновесное тепловое излучение. Закон Кирхгофа. Абсолютно черное тело. Экспериментальные данные по излучению черного тела. Формула Стефана-Больцмана. Закон Релея-Джинса. Закон смещения Вина. Введение Планком представления о кванте излучения. Вывод формулы Планка. Фотометрические величины и единицы их измерения. Связь фотометрических величин с вектором Пойнтинга. Спектральные плотности фотометрических величин. Редуцированные фотометрические величины. Фотометрические величины нагретых тел, спектральный коэффициент излучения. Энергетические и световые фотометрические величины. Абсолютная и относительная спектральная световая эффективность. Связь световых и энергетических величин. Индикатриса излучения источника. Эйлеровые и ламбертовые излучатели. Соотношения между фотометрическими величинами. Геометрический и оптический факторы. Инвариант Гершуна. Теорема взаимности.
Основные соотношения
|
|
|
Энергетическая светимость – физическая величина, определяемая отношением потока 
излучения, исходящего от малого участка поверхности, к площади 
этого участка, [Вт/м2] :
(2.1)
Сила излучения – (энергетическая сила света) – физическая величина, определяемая отношением потока излучения 
, распространяющегося от источника излучения внутри малого телесного угла 
, к этому углу, [Вт/ср]:
(2.2)
Облученность (энергетическая освещенность) – физическая величина, определяемая отношением потока излучения , падающего на малый участок поверхности, к площади 
этого участка, [Вт/м2]:
(2.3)
Энергетическая яркость – физическая величина, определяемая отношением потока 
, излучаемого с малой площадки в малом телесном угле 
, ось которого составляет угол 
с нормалью к этой площадке, к геометрическому фактору 
этого пучка, [Вт/(м2 ср)] :
, (2.4)
где
. (2.5)
Примечание. В том случае, когда геометрический фактор пучка лучей определяется двумя площадками и 
, нормали к которым образуют углы и 
с линией, соединяющей центры этих площадок, справедливо равенство:
, (2.6)
где l – расстояние между центрами площадок и ; 
– телесный угол, под которым видна площадка из центра площадки ; 
– телесный угол, под которым видна площадка из центра площадки .
|
|
|
Из (2.4) с учетом (2.1) - (2.6) можно получить следующие соотношения:
,
гдe 
– интенсивность излучения с площадки в направлении угла 
, отсчитываемого от нормали к площадке;
,
где 
– энергетическая освещенность площадки , – угол падения излучения на площадку , l – расстояние между центрами площадок и 
Индикатриса силы излучения – отношение интенсивности излучения 
в произвольном направлении 
, определяемом угловыми координатами θ и φ, к силе излучения 
в направлении, принятом за основное (рис. 2.1):
.
Если излучателем является площадка , а основное направление совпадает с нормалью 
к ней, то
Рис. 2.1.
Источники, для которых энергетическая яркость не зависит от направления наблюдения, т.е. 
, называются ламбертовыми. Для ламбертовых источников справедливо, что распределение силы излучения симметрично относительно нормали к площадке:
,
где 
.
Индикатриса силы излучения ламбертовых источников излучения равна:
,
а ось симметрии излучателя называют фотометрической осью.
Излучение с площадки , распространяющееся в диапазоне углов от 
до 
и от 
до 
, занимает телесный угол:
.
Поток излучения в этом угле:
,
и, следовательно, полный поток излучения с площадки в полусферу равен:
.
Для ламбертового источника:
,
и, следовательно, энергетическая светимость
.
Помимо ламбертовых излучателей часто выделяют источники, излучающие по закону Эйлера, для которых 
Спектральные плотности фотометрических величин определяются соотношением:
,
где 
– любая из основных пяти фотометрических величин (
, 
, 
, 
, 
).
Спектральные коэффициенты отражения, поглощения и пропускания 
, 
, 
определяются выражениями:
где 
– монохроматический поток излучения, падающий на тело; 
, 
, 
– монохроматический поток излучения отраженный, поглощённый телом и прошедший через него, соответственно.
Интегральные коэффициенты отражения, поглощения и пропускания 
, 
, 
равны:
,
,
,
где 
– спектральная плотность потока излучения, падающего на тело.
Между 
, 
, и 
, 
, 
справедливы соотношения:
, 
.
При падении излучения на тело, для которого выполняется законы отражения и преломления, энергетические яркости отраженного и прошедшего излучения соответственно равны:
; 
,
где 
– энергетическая яркость излучения, падающего на тело; n – относительный показатель преломления сред, находящихся за и перед телом.
Если тело обладает диффузным характером отражения или пропускания, то при создании на нем энергетической освещенности 
оно становится вторичным ламбертовым излучателем с энергетической яркостью:
; 
.
Редуцированная фотометрическая величина 
– фотометрическая величина, образованная из соответствующих энергетических величин следующим образом:
(2.7)
где 
– относительная спектральная чувствительность приемника излучения; 
– спектральная плотность любой энергетической фотометрической величины; 
– переводной множитель от единиц энергетических величин к единицам, применяемым в системе редуцированных величин.
Примечание. При 
редуцированную величину называют относительной редуцированной величиной.
Световая величина 
– редуцированная фотометрическая величина, определяемая действием излучения на глаз и вычисляемая из формулы (2.7) при условиях:
, 
лм/Вт
где 
– относительная спектральная световая эффективность (см. таблицу 2.1).
Таблица 2.1.
| Относительная спектральная световая эффективность | |||||||
 , нм
|
| , нм
|
|  , нм
|
| ||
| 380 | 0 | 520 | 0,710 | 660 | 0,061 | ||
| 390 | 0,0001 | 530 | 0,862 | 670 | 0,032 | ||
| 400 | 0,0004 | 540 | 0,954 | 680 | 0,017 | ||
| 410 | 0,0012 | 550 | 0,995 | 690 | 0,0082 | ||
| 420 | 0,0040 | 560 | 0,995 | 700 | 0,0041 | ||
| 430 | 0,0116 | 570 | 0,952 | 710 | 0,0021 | ||
| 440 | 0,0230 | 580 | 0,870 | 720 | 0,00105 | ||
| 450 | 0,0380 | 590 | 0,757 | 730 | 0,00052 | ||
| 460 | 0,0600 | 600 | 0,631 | 740 | 0,00025 | ||
| 470 | 0,0910 | 610 | 0,503 | 750 | 0,00012 | ||
| 480 | 0,1390 | 620 | 0,381 | 760 | 0,00006 | ||
| 490 | 0,2080 | 630 | 0,265 | 770 | 0,00003 | ||
| 500 | 0,3230 | 640 | 0,175 | 780 | 0,000015 | ||
| 510 | 0,5030 | 650 | 0,107 | ||||
Система световых величин:
|
|
|
световой поток [лм], 
;
яркость [кд/м2], 
;
сила света [кд], 
;
освещенность [лк], 
;
светимость [лм/м2], 
.
Все предыдущие соотношения для энергетических фотометрических величин применимы к световым величинам. Индексы «e» и «v» в обозначениях фотометрических величин можно опустить, если соотношения относятся только к энергетическим или только световым величинам.
Редуцированные коэффициенты пропускания, отражения и поглощения 
, 
, 
:
;
;
.
Спектральная плотность энергетической светимости абсолютно черного тела (а.ч.т.) 
определяется по формуле (закон Планка):
(2.8)
где 
– температура а.ч.т., [К];
;
.
Функция имеет максимум на длине волны, [мкм]:
и принимает на этой длине волны значение
.
Спектральная плотность энергетической светимости реального тела при температуре 
определяется выражением:
,
где 
– спектральный коэффициент излучения тела.
Энергетическая светимость а.ч.т. определяется законом Стефана-Больцмана:
,
где 
.
Энергетическая светимость реального нагретого тела
,
где 
– интегральный коэффициент излучения тела.
Основные типы задач
1. Какую индикатрису излучения должен иметь точечный источник излучения, расположенный на расстоянии 
от плоской поверхности, чтобы в диапазоне углов от до 
облученность поверхности была постоянной и равной 
.
Решение:
Освещенность произвольной точки В поверхности (рис. 2.2) равна
.
Рис 2.2.
По условию задачи в заданном диапазоне углов значение освещенности должно быть 
, следовательно:
,
где 
.
Таким образом, индикатриса излучения источника
|
|
|
; 
.
2. Определить яркость L люминесцентной лампы длиной 
и диметром 
, находящийся над столом на высоте 
, если освещенность в точке В на столе под лампой (рис. 2.3) равна 
лк. Лампу считать ламбертовыми источником.
Решение:
Выделим из лампы элементарный излучатель длиной 
и диаметром D, который будет виден из точки B под телесным углом
.
Этот излучатель создает в точке В элементарную освещенность 
Поскольку 
, то
,
.
Рис. 2.3.
Проинтегрировав это выражение по всей длине лампы, получим:
,
где 
.
Следовательно,
.
3. Диск диаметром D, температурой T и с коэффициентом черноты 
находится на высоте 
от стола, причем плоскости диска и стола параллельны. Определить облученность и освещенность точки В стола, расстояние от которой до центра диска 
.
Решение:
Сначала рассчитаем энергетическую яркость диска:
.
Сила излучения диска в направлении точки Вравна:
,
где 
– угол между нормалью к диску и направлением излучения на точку В.
Искомая облученность равна:
.
Аналогичное выражение получаем и для освещенности в точке В, а именно:
где 
– яркость диска, определяемая как редуцированная величина по формуле:
.
Последний интеграл на практике вычисляют на ЭВМ с использованием закона Планка (2.8) и данных табл. 2.1.
Задачи для самостоятельного решения
1. Лампа малых размеров без рефлектора находится над горизонтальным столом на высоте 0,5 м от его поверхности. Полный поток лампы, равный 1000 лм, равномерно распределяется по всем направлениям. Какова освещенность стола под лампой?
Ответ: 
лк.
2. Абсолютно черное тело при температуре затвердевания платины под давлением 101325 Па излучает с плоской круглой площадки радиусом 3 мм. Найти освещённость другой площадки, расположенной в направлении, образующем 
с нормалью к излучающей поверхности на расстоянии 0,75 м от неё. Угол между нормалью к площадке, воспринимающей излучение, и линией, соединяющей центры испускающей площадки с площадкой, воспринимающей излучение, равен 
.
Ответ: 
лк.
3. На каком расстоянии от освещаемого объекта можно считать точечным источник, имеющего форму круглого плоского диска, если его площадь 
. Допустимая относительная погрешность в определении освещенности, обусловленная пренебрежением конечными размерами источника, не должна превышать 1%.
Ответ: 
.
4. Найти яркость поверхности Солнца, зная, что в ясный день прямое падение солнечного излучения создает на поверхности, перпендикулярной к направлению на Солнце, освещенность 
. Угловой размер Солнца 
. Поглощением и рассеянием излучения в атмосфере пренебречь.
Ответ: 
.
5. При фотометрических расчетах Солнце часто считают черным телом с температурой 
. Определить энергетическую яркость Солнца 
и мощность 
солнечного излучения, падающего на Землю. Радиус Земли принять равным 
, угловой размер Солнца .
Ответ: 
.
6. На оси диска радиусом 
на расстоянии 
от центра диска находится источник излучения. Какова индикатриса излучения источника, если распределение облученности по поверхности диска 
, где 
– расстояние от произвольной точки до центра диска? Чему равен полный поток излучения , падающий на диск? Рассмотреть два частных случая 
а) 
;
б) 
.
В расчетах принять 
.
Ответ:
а) 
; 
;
б) 
; 
.
7. Определить энергетическую яркость равнояркого цилиндра, если его размеры
, 
(рис. 2.4). Цилиндр создает в точке В (
, 
) облученность 
; 
излучает только боковая поверхность цилиндра.
Ответ: 
.
Рис.2.4.
8. У равнояркого цилиндра (см. задачу 7) излучает вся поверхность. Энергетическая яркость его . Определить облученность, создаваемую цилиндром в точке В.
Ответ: 
.
9. В результате колебания напряжения в сети температура вольфрамовой нити накала изменится на 
. Определить, считая нить серым излучателем, во сколько раз изменится при этом поток, излучаемый нитью, если при номинальном напряжении температуры нити 
.
Ответ: 
.
10. Определить температуру вольфрамовой поверхности, если она имеет энергетическую светимость 
. Поверхность считать серым телом с коэффициентом черноты 
.
Ответ: 
.
11. Максимум спектральной плотности энергетической яркости серого диска площадью 
приходится на длину волны 
а максимальная его интенсивность 
. Определить коэффициент черноты тела.
Ответ: 
.
12. Определить световой поток, излучаемый черным телом на длине волны 
в диапазоне длин волн 
Площадь поверхности излучателя температура а.ч.т 
.
Ответ: 
.
13. Определить величину телесного угла, в пределах которого заключена половина светового потока, излучаемого одной стороной плоского равнояркого диска.
Ответ: 
.
14. На расстоянии 
по нормали к центру равнояркого излучающего диска диаметром 
и яркостью 
расположена площадка 
параллельно плоскости диска. Определить освещенность площадки. Найти минимальное расстояние 
между площадкой и диском, когда освещенность площадки может быть определена с относительной погрешностью 
как освещенность от точечного источника, находящегося в центре диска, при силе света, равной максимальной силе света излучающего диска.
Ответ: 
, 
.
15. Два круглых диска радиусами 
и 
расположены соосно и параллельно друг другу на расстоянии 
. Малый диск является равноярким излучателем яркостью 
. Определить закон распределения освещенности на большом диске 
, где 
– угол, под которым из центра малого диска видна произвольная точка большого диска. Определить световой поток, падающий на большой диск?
Ответ: 
.
16. Равнояркий конус, образующая которого равна диаметру основания 
, расположен над плоскостью на высоте , так что его основание перпендикулярно к плоскости. Определить яркость конуса, если освещенность плоскости под конусом 
. Определить значение освещенность 
в той же точке, если основание конуса будет параллельно плоскости.
Ответ: 
; 
.
17. Над плоскостью 
в системе координат 
на высоте 
находится равнояркий диск яркостью L так, что нормаль к его плоскости параллельна оси 
, а центр находится на оси 
. Найти распределение освещенности 
в плоскости , максимальную освещенность 
и точку B, в которой 
.
Ответ: 
; 
.
18. Доказать, что равнояркий излучающий шар с яркостью поверхности L и радиусом 
может рассматриваться как точечный изотропный (эйлеров) излучатель, расположенный в центре шара. Определить силу света этого излучателя.
Ответ: 
.
19. Плоский диск, излучающий по закону Ламберта, имеет распределение яркости по поверхности 
, где 
, 
, – расстояние от произвольной точки до центра диска. Найти освещенность в точках Ви С плоскости, параллельной диску и удаленной от него на расстояние 
, если точка В является следом осевой нормали к диску на плоскости, а точка С видна из центра диска под углом 
к нормали.
Ответ: 
; 
.
20. Равнояркий цилиндр имеет размеры 
и яркость поверхности 
. Определить силу света 
, излучаемую цилиндром под углом 
к оси цилиндра, а также световые потоки 
и 
, излучаемые соответственно боковой поверхностью и основаниями цилиндра.
Ответ: 
; 
; 
.
21. Над центром диска диаметром 
расположен точечный источник света, излучающий по закону Эйлера и имеющий силу света 
. Каково расстояние h от источника до центра диска, если световой поток, падающий на диск, 
. Определить максимальное 
, минимальное 
и среднее 
значения освещенности диска.
Ответ: 
; 
; 
; 
.
22. Решить задачу 21 при условии, что точечный источник излучает по закону Ламберта, т.е. 
, где 
, а диаметр диска 
и падающий поток 
.
Ответ: 
; 
; 
; 
.
23. Определить световой поток, излучаемый основанием и поверхностью полушара, а также значение силы света по направлениям 
; 
; 
; 
и 
. Полушар равнояркий с яркостью 
и диаметром основания 
. Углы отсчитываются от оси симметрии полушара.
Ответ: 
; 
; 
.
24. Определить положение максимума освещенности горизонтальной плоскости источником света силой 
, фотометрическая ось которого направлена перпендикулярно к плоскости. Источник света расположен над плоскостью на высоте .Ответ: 
.
25. Определить величину и направление максимальной силы света равнояркого цилиндра диаметром основания D, высотой b и светимостью поверхности 
при условии 
, где 
.
Ответ: 
.
26. Равнояркий шар, диаметром 
, излучающий световой поток 
, расположен над центром диска площадью 
. Определить яркость шара и высоту h над плоскостью диска, при которой на краю диска получается максимальная освещенность.
Ответ: 
; 
.
27. Киноэкран площадью 
равномерно освещается световым потоком 
Найти яркость экрана, если его коэффициент диффузного отражения 
.
Ответ: 
.
28. Через небольшое отверстие в полой сфере 
с диффузно отражающей внутренней поверхностью падает узкий пучок света, создающий на небольшом участке площадью 
поверхности освещенность 
. В результате площадка становится вторичным излучателем. Доказать, что освещенность любой точки внутренней поверхности сферы от вторичного излучателя постоянна, и найти величину этой освещенности при коэффициенте отражения поверхности 
.
Ответ: 
.
29. Вольфрамовый шарик диаметром 
освещает лист белой бумаги с расстояния 
. Коэффициент теплового излучения вольфрама 
; яркость бумаги, имеющей коэффициент диффузного отражения 
, составляет 
. Найти температуру вольфрамового шарика, если световая эффективность излучения вольфрама 
.
Ответ: 
.
30. Над центром диска радиусом 
на высоте 
расположен ламбертовый источник с осевой силой света 
. Непосредственно перед диском расположена пластина с осесимметричным распределением коэффициента пропускания 
. Найти функцию 
, если известно, что освещенность диска постоянна, а световой поток, падающий на диск, 
Ответ: 
.
. Определить индикатрису силы излучения 
равнояркого непрозрачного параллелепипеда (рис. 2.5) с энергетической яркостью 
и со сторонами 
, выбрав направление фотометрической оси вдоль оси . Найти локальные экстремумы функции 
в плоскостях 
и 
и её глобальный экстремум. Определить поток излучения 
, падающий от параллелепипеда на круг радиуса 
, параллельный плоскости , центр которого находится на оси на расстоянии 
от начала координат, если известно: 
, 
, 
, 
.
Рис. 2.5.
32*. Над плоскостью 
(рис. 2.6) на высоте находится равнояркий диск яркостью 
и диаметром 
так, что нормаль 
к его плоскости параллельна оси . Найти распределение освещенности 
в плоскости , максимальную освещенность 
и точку 
, в которой 
. Определить световой поток, падающий на плоскость .
Рис. 2.6.
33*. На расстоянии 
от центра О равнояркого цилиндра находится круг, плоскость которого параллельна основанию цилиндра (рис.2.7). Радиус основания цилиндра 
, высота 
и яркость .
Найти функцию распределения освещенности 
, где 
– радиальная координата произвольной точки круга. Чему равен радиус круга R, если известно, что максимум функции 
приходится на край круга? Найти световой поток 
, падающий на круг.
Рис. 2.7.
34*. Небольшой диффузно рассеивающий цилиндр с коэффициентом отражения поверхности 
, радиусом основания 
и высотой 
находится на расстоянии 
над плоскостью и ориентирован так, что его ось параллельна оси х. Цилиндр освещается параллельным пучком лучей от точечного источника излучения силой 
, находящегося на той же высоте и удаленного от цилиндра на расстояние 
вдоль оси . Определить зависимость силы излучения цилиндра (как вторичного источника) от угла 
, лежащего в плоскости 
, и облученность 
в точке 
на плоскости (рис. 2.8); 
.
Рис 2.8.
35*. Нагретый цилиндр с радиусом основания 
и высотой 
, находящийся на расстоянии от плоскости (рис. 2.9), имеет зависимость спектрального коэффициента излучения от длины волны 
, где λ – длина волны в мкм. Определить температуру T цилиндра, если известно, что монохроматическая освещенность создаваемая им в точке 
на длине волны 
в диапазоне длин волн 
равна 
; 
, 
. Чему равна монохроматическая облученность 
в этой точке на длине волны 
в диапазоне длин волн 
?
Рис 2.9.
36*. Определить температуру Т равнояркого излучающего цилиндра с радиусом основания и высотой 
(см. рис. 2.9), если известно, что в точках и 
плоскости х O у, перпендикулярной к оси цилиндра и отстоящий на расстояние от его центра, монохроматические облученности 
и 
на длинах волн 
и 
, в диапазонах длин волн 
относятся между собой, как 
. Цилиндр считать серым телом с коэффициентом излучения 
. Чему равна освещенность 
в точке B в диапазоне длин волн 
на длине волны 
, соответствующей максимальной спектральной плотности энергетической светимости цилиндра; 
, 
,
