Соотношения между тригонометрическими функциями
Одного и того же аргумента. Применение основных тригонометрических формул к преобразованию выражений.
Цели:
- научиться находить соотношения между тригонометрическими функциями;
- повторить уравнение окружности;
- формировать умения и навыки использования тригонометрических тождеств при решении задач.
Ход урока
I Изучение нового материала
Пусть при повороте начального радиуса ОА, равного R, на угол . Тогда по определению = , где x – абсцисса точки В, а y – ордината. Отсюда следует, что Тогда В принадлежит окружности. Поэтому ее координаты удовлетворяют уравнению:
.
Воспользуемся равенствами: получим:
Отсюда:
(1)
Формула (1) выражает соотношение между синусом и косинусом одного аргумента.
Выясним теперь как связаны между собой тангенс и котангенс одного и того же аргумента. По определению
tg . Т.к. то
tg = (2)
ctg (3).
Равенство (1) верно при любых значениях . Равенство (2) верно при всех значениях , при которых , а равенство (3) верно при всех значениях , при которых .
|
|
С помощью этих формул можно получить другие формулы, выражающие соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента. Из равенств (2) и (3) получаем:
tg , т.е.
tg 1. (4)
Равенство (4) показывает, как связаны между собой тангенс и котангенс одного аргумента. Оно верно при всех значениях , при которых tg имеют смысл.
Выведем теперь формулы, выражающие соотношения между тангенсом и косинусом, а также между котангенсом и синусом одного и того же аргумента.
Разделив обе части равенства (1) на получим:
. (5)
Если обе части равенства (1) разделить на , то
. (6)
Равенство (5) верно, когда , а равенство (6) – когда .
Равенства (1) – (6) являются тождествами. Их называют основными тригонометрическими тождествами.
Формулы двойного аргумента
II Закрепление изученного материала
Пример 1. Известно, что . Найти .
Решение. Из формулы (1) получаем: . Подставив заданное значение синуса, получим
.
Значит либо . По условию, , т.е. аргумент принадлежит III четверти. В III четверти косинус отрицателен, значит
.
Ответ: -0,8.
Пример 2. Упростить выражение .
.
Пример 3. Упростить выражение
Пример 4. Упростить выражение
2) cos2α – (ctg2α +1) sin2α.=
Пример 5. Докажите тождество:
1) (tg α+ctg α)2– (tg α–ctg α)2= 4
Тождество доказано.
2) (1+tg α)2+(1-tg α)2= ;
Тождество доказано.
Пример 6. Упростите выражение .
Пример 7. Упростите выражение .
.
Домашнее задание: Колмогоров А.Н. Алгебра 10-11. § 1, пункт 2 (стр. 7-9).