2020-05-12
128
Определение. Движение точки в криволинейных координатах записывается следующим образом:
Скорость и ускорение точки в базисе криволинейных координат:
Компоненты 
называются контравариантными компонентами векторов скорости и ускорения соответственно.
Компоненты 
называются физическими компонентами векторов скорости и ускорения.
В последних формулах применяется следующее правило (Эйнштейна): если в одной части уравнения, (формулы), индекс свободный, то есть по нему нет суммирования, то по нему нет суммирования и в другой части уравнения.
Физические компоненты векторов скорости 
и ускорения 
в ортонормированном базисе 
имеют обычную физическую размерность.
Цилиндрическая ортогональная система координат,
Прямое отображение 
:
Обратное отображение 
:
Коэффициенты Ламе: 
Базис 
в разложении по декартовому базису имеет вид:
Очевидно, что эти векторы взаимно ортогональны.
Кобазис разлагается по декартову базису так:
Ненулевые символы Кристоффеля: 
|
|
|
Физические компоненты векторов скорости и ускорения имеют вид:
Полярная система координат.
Если в цилиндрических координатах положить z = 0, то система координат называется полярной системой координат. Она описывает движение точки в одной плоскости. Для нее физические компоненты скорости и ускорения имеют вид 
:
.
Сферическая ортогональная система координат
Прямое отображение 
Обратное отображение :
Коэффициенты Ламе: 
Векторы базиса и кобазиса связаны следующим образом:
Символы Кристоффеля имеют следующие значения:
Связь контравариантных и физических компонент скорости и ускорения имеет вид:
Вычислим третью физическую компоненту вектора ускорения:
Окончательно, физические компоненты векторов скорости и ускорения в сферических координатах вычисляются по следующим формулам:
