Решение задач по теме «Многогранники»»

Тема «Правильные многогранники и элементы их симметрии.

 

1. Для того, чтобы повторить и закрепить последнюю тему, предлагаю два следующих видео:

«Правильные многогранники»

https://yandex.ru/video/preview?filmId=2417420791693414268&from=tabbar&parent-reqid=1586203777818570-1641546895887197905400155-production-app-host-vla-web-yp-133&text=%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5%2B%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%2B%D0%BF%D0%BE%2B%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B5%2B%D0%BF%D0%BE%D0%BD%D1%8F%D1%82%D0%B8%D0%B5%2B%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%2B%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B0%2B%D1%8D%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D1%8B%2B%D1%81%D0%B8%D0%BC%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B8%2B%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D1%85%2B%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%BE%D0%B2

 

«Элементы симметрии правильных многогранников»

https://yandex.ru/video/preview?filmId=16194355106735170398&from=tabbar&parent-reqid=1586203777818570-1641546895887197905400155-production-app-host-vla-web-yp-133&text=%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5%2B%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%2B%D0%BF%D0%BE%2B%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B5%2B%D0%BF%D0%BE%D0%BD%D1%8F%D1%82%D0%B8%D0%B5%2B%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%2B%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B0%2B%D1%8D%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D1%8B%2B%D1%81%D0%B8%D0%BC%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B8%2B%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D1%85%2B%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%BE%D0%B2

 

2. Мы рассмотрели заключительную тему Главы III, значит, пришла пора выполнить зачётную и контрольную работы. Сегодня решаем задачи в качестве подготовки к зачёту. Мои подсказки по решению задач будут вам полезны. Ваша работа заключается в том, чтобы получить полное оформление условия и решения рассматриваемых задач. Фотографии ваших работ жду до 17.00 на электронный адрес  oktitova2@yandex.ru

Удачи!

 

Задача 1. Основание пирамиды – прямоугольник со сторонами 12 см и 16 см. Все боковые рёбра пирамиды равны 26 см.

а. Докажите, что высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания.

б. Найдите высоту пирамиды.

 

Для доказательства строим высоту МО и рассматриваем треугольники МОА, МОВ, МОС, МОD (пока в нашей голове нет отрезков ВD и АС, есть лишь отдельно «живущие» ОА, ОВ, ОС, ОD). Если вам удастся показать, что треугольники  равны, то, тем самым, вы докажете равенство отрезков ОА, ОВ, ОС, ОD. Вспомнив свойства диагоналей прямоугольника, вы получите нужный факт пункта а.

Для нахождения высоты сначала найдите АС, далее ОС, и, наконец, МО (помощница – Т. Пифагора).

 

Задача 2. Основание пирамиды – равнобедренный треугольник. Все двугранные углы при основании пирамиды равны. Докажите, что высота пирамиды проходит через центр окружности, вписанной в основание (сейчас не используем ключевую задачу 247, а сами доказываем нужный факт).

Строим высоту DO, DK ^ AB, DL ^ BC, DM ^ AC.

Вспомнив теорему, обратную теореме о трёх перпендикулярах (все условия теоремы необходимо прописать), сначала докажите, что ОК ^ AB, OL ^ BC, ОМ ^ AC. Только теперь мы имеем право рассматривать углы DKO, DLO, DMO как двугранные углы при основании пирамиды (по условию они равны). Рассмотрите необходимые треугольники, докажите их равенство и сделайте вывод о равенстве отрезков ОК, OL и ОМ. Тем самым, вы получите, что точка О равноудалена от сторон треугольника АВС. Т.е. является центром вписанной окружности (есть ли в задаче лишние условия? – да есть, и это иногда встречается)

 

Задача 3. Основание пирамиды – прямоугольник со сторонами 9 см и 16 см. Высоты пирамиды проходит через одну из вершин основания и равна 12 см.

а. Докажите, что боковые грани пирамиды – прямоугольные треугольники.

б. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Сейчас В – эта та вершина основания, через которую проходит высота пирамиды. Высота пирамиды перпендикулярна основанию пирамиды, значит и отрезкам ВА и ВС. Следовательно, прямоугольность треугольников МВА и МВС очевидна. Для доказательства прямоугольности оставшихся треугольников МАD и МСD необходимо увидеть в рисунке теорему о трёх перпендикулярах (перпендикуляр у вас есть, не забудьте, что основание – прямоугольник).

Для вычисления площади боковой поверхности вам необходимо найти длину МА и МС, после чего собрать сумму площадей треугольников, образующих боковую поверхность пирамиды.

 

 

Домашнее задание: повторить П. 27 – 37, подготовиться к зачёту (уметь решать задачи, аналогичные рассмотренным). Зачёт завтра, т.е. в среду. Время на выполнение задач и отсылания файла будет ограничено одним часом.