Несобственные интегралы второго рода

Тема: Несобственные интегралы

До сих пор мы рассматривали определенные интегралы  только при выполнении двух условий:

1) промежуток [a, b] конечен;

2) функция f(x) ограничена на этом промежутке.

Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то определенный интеграл нельзя найти по тому определению, которое давалось раннее: бесконечный отрезок нельзя разбить на n отрезков конечной длины; если функция растет до бесконечности, нет предела интегральных сумм.

Тем не менее, интегралы с бесконечностями используются в математике и технике. Их называют неопределенными интегралами. Если бесконечен промежуток интегрирования, перед нами интегралы первого рода. Когда бесконечна функция, мы имеем дело с интегралом второго рода.

Геометрический смысл несобственного интеграла: сходящийся несобственный интеграл означает, что площадь бесконечной фигуры есть конечное число.

 

 

Несобственные интегралы первого рода

Определение: Пусть функция y = f(x) определена на промежутке [a, + ∞] и на любом конечном отрезке [a, B], a < B, B < + ∞ функция y = f(x) интегрируема, то есть существует интеграл . Тогда несобственным интегралом первого рода (интегралом по бесконечному промежутку) называется предел

Если этот предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, а если не существует или бесконечен, то несобственный интеграл – расходящийся.

Аналогично определяются интегралы, у которых бесконечен нижний предел интегрирования или оба предела интегрирования:

=

 

=

Обозначение: , ,

 

Пример 1. Найти несобственный интеграл

 

Важные несобственные интегралы первого рода

1. Интеграл Эйлера-Пуассона (Гауссов интеграл)

 

2. Интеграл Дирихле

 

Несобственные интегралы второго рода

Определение: Пусть функция y = f(x) определена на конечном промежутке [a, b] и интегрируема на любом отрезке [a, b – ε], ε < 0, [a, b – ε] ⸦  [a, b). Несобственным интегралом второго рода называется предел

если он существует.

Если этот предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, а если не существует или бесконечен, то несобственный интеграл – расходящийся.

Обозначение: такое же, как и для определенного интеграла

Пример 4 

 =  =  =  =  +  =  +  = +  = + = +  = ∞ + ∞

Интеграл расходится.

Пример 5

Интеграл расходится.

Домашнее задание:

1, №. 10.237, 10.322; 2, с. 71 – 75.

Литература по теме:

1. Сборник задач и упражнений по высшей математике для студентов экономических специальностей: в 2 ч. / Л.Н.Гайшун, Н.В.Денисенко, А.В.Марков (и др.). – Минск: БГЭУ, 2014. – Ч.2. – 270 с.

2. Шилкина, Е. И. Высшая математика: Часть 2. Учеб.-практ. пособие / Е. И. Шилкина, М. П. Дымков, В. А. Рабцевич. – Мн.: БГЭУ, 2014. – 167 с.